Sollte diese Funktion nicht invertierbar sein?

Gegebene Frage:

Definiere eine Funktion f :   D → Z von   F ( X ) = X 2 + 5 , Wo   D = { − 4 , − 3 , − 2 , − 1 , 0 } .

Finden   F − 1 .

Meine Antwort ist, dass es keine Umkehrung der Funktion f gibt, weil f nicht bijektiv ist, wie mir beigebracht und in meinen Vorlesungsunterlagen angegeben wurde. Während f eins zu eins (injektiv) ist, ist f nicht on (surjektiv), da die Menge D nur 5 Elemente hat und der Wertebereich die Menge der ganzen Zahlen ist - nicht jedes Element im Wertebereich hat ein Urbild.

Die gegebene Musterantwort lautet jedoch wie folgt:

  j = X 2 + 5 → X 2 = j − 5 → X = j − 5

  F − 1 ( X ) = − X − 5

Ich habe versucht, danach zu suchen, und überall scheint dasselbe zu sagen, z. B. link1 , link2 , link3 - dass eine Funktion, um invertierbar zu sein, bijektiv sein muss.

Ich bin im Moment ziemlich verwirrt ... liege ich falsch und die Musterantwort ist richtig?

Danke!

So wie die Frage gestellt ist, hast du Recht. Wenn die Frage sagte, finden F − 1 : F ( D ) → D dann wäre die gegebene Antwort richtig gewesen.
Fragen wie diese sind oft zu verstehen als: Show F ist eins zu eins und findet sein Bild E , und dann F : D → F ( D ) = E ist bijektiv usw. Es ist nicht die genaueste Art zu fragen, aber manchmal muss es so verstanden werden. Überprüfen Sie die Quelle der Frage.
In der Frage wird Inverse oder Invertierbarkeit nicht erwähnt. Es fragt nach F − 1 . Das ist sogar für Funktionen wohldefiniert, die weder injektiv noch surjektiv sind.

Antworten (2)

Technisch hast du recht. Die Funktion fist nicht invertierbar, da sie nicht surjektiv ist.

f ist jedoch invertierbar, wenn der Wertebereich auf den Bereich f(D)der Funktion beschränkt wird. In diesem Fall ist die Funktion umgekehrt.

  F − 1 ( X ) = − X − 5

Eine vielleicht noch schönere Schreibweise wäre:

  G : { X ∈ Z , X ≥ 5 } → D

  G ( X ) = − X − 5

Somit:

F ( D ) = { 5 , 6 , 9 , 14 , 21 , 30 }

  G | F ( D ) = F − 1

Die vielleicht größte Frage ist, wie Sie diese Frage überhaupt beantworten sollten .

Sicher, technisch korrekt zu sein ist wichtig für die Mathematik, aber vielleicht ist es genauso wichtig, "das Gesamtbild" zu sehen, dass es eine Bedingung für eine Umkehrfunktion gibt, wenn ihre Domäne auf eine bestimmte Teilmenge beschränkt wird. Die allgemeine Absicht der Fragen herauszufinden, kann eine sehr nützliche Fähigkeit sein, wenn man versucht, eine Aussage zu beweisen.

Wenn dies jedoch eine "Hausaufgabe / Prüfungsfrage" ist, bedenken Sie, dass dieses "Überblick über das Ganze" und "gesunde Menschenverstand" subjektiv ist - meiner Erfahrung nach haben verschiedene Bereiche und Mathematiker unterschiedliche Erwartungen und es lohnt sich oft, mit ihnen zu sprechen Ihr Lehrer, um zu sehen, wie die Dinge übereinstimmen.

Wenn ich zum Beispiel mit jemandem zusammengearbeitet habe, der darauf hingewiesen hat, dass die Funktion aufgrund der Domäne nicht umkehrbar ist, würde ich so etwas sagen wie "Sicher, Sie haben Recht, aber Sie haben verstanden, was ich meinte." im Sinne von "Hey, das ist wahrscheinlich nur ein Detail im ganzen Schema dessen, was wir tun".

Beachten Sie, dass der Bereich von F Ist F ( D ) = { 5 , 6 , 9 , 14 , 21 , 30 }

  j = X 2 + 5 X 2 = j − 5 Beachten Sie, dass  j − 5 ≥ 0 . X = − j − 5

Sollte diese Funktion nicht invertierbar sein?
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