Gibt es einen bestimmten Begriff für eine Funktion, die nur als Menge geordneter Paare existiert und nicht durch eine mathematische Formel beschrieben werden kann?

Mathematik, wie wir sie wahrnehmen, ist irgendwie lustig.

Wir beginnen damit, etwas über Funktionen zu lernen, die stetig und differenzierbar sind, und wir sehen ein Beispiel (vielleicht die Funktion von Weierstraß) für eine Funktion, die stetig, aber nirgends differenzierbar ist. Und das nennen wir eine pathologische Funktion.

Oder wir lernen Borel- und Lebesgue-Mengen kennen, und wir lernen Vitali-Mengen als Beispiel für nicht messbare Mengen kennen. Und wir nennen diese pathologisch.

Aber die Realität in der Mathematik sieht ganz anders aus. Die meisten Funktionen von$\Bbb{R\to R}$sind nirgendwo stetig, die meisten stetigen Funktionen sind nirgendwo differenzierbar, und die meisten differenzierbaren Funktionen sind nirgendwo stetig differenzierbar usw. Ebenso sind die meisten Mengen nicht Borel- und die meisten Mengen nicht Lebesgue-messbar. (In all diesen Fällen können wir dem Wort „am meisten“ eine sehr konkrete und sehr reale Bedeutung geben.)

Dies bedeutet, dass die stetigen Funktionen die Ausnahme darstellen . Wir konzentrieren uns auf diese Ausnahmen, weil wir Ordnung in diesem ganzen Chaos suchen. Aber die Wahrheit ist, dass "Unregelmäßigkeit", wie wir darüber denken wollen, das allgemeine Gesetz des Landes ist.

Okay, warum erwähne ich das überhaupt? Also. Sie scheinen überrascht zu sein, dass eine Funktion ohne eine Formel existieren kann, die sie definiert. Aber in gewisser Weise ist das "vernünftiger". Ja, es gibt subtile metamathematische Punkte in Bezug auf mathematische Universen, in denen alles eine explizite Definition hat (und dort natürlich das Axiom der Wahl gilt). Aber das sind die Ausnahmen, nicht die Regel.

Das Ziel der Definition einer Funktion durch eine Menge geordneter Paare und nicht durch eine explizite Formel besteht darin, zwei Dinge zu tun:

1. Formeln (in der Mengenlehre) sind keine mathematischen Objekte, sie sind metamathematische Objekte. ¹ Wir wollen in der Lage sein, den Begriff einer Funktion im Universum zu definieren, was bedeutet, dass es sich um eine interne Eigenschaft einer Menge handeln muss. Zum Beispiel eine Menge geordneter Paare mit einer bestimmten Eigenschaft.

2. Wenn wir die Idee einer Funktion abstrahieren, sehen wir, dass es nicht um die Formel geht, sondern um die Eindeutigkeit einer Ausgabe. Mengen geordneter Paare sind genau das, was wir brauchen, um diese Idee zu modellieren. Jetzt können wir abstrakt über Funktionen sprechen. Genauso wie wir über reelle Zahlen als abstrakte Idee sprechen können, ohne ihre gesamte Dezimalentwicklung angeben zu müssen.

Abschließend zu Ihrer tangentialen Frage zur Verwendung des Wahlaxioms denke ich, dass es hier am besten ist, "wenn und nur wenn" zu vermeiden. Es kann irreführend sein, und harte Linien in den Sand zu setzen, bevor Sie die richtige Intuition entwickelt haben, wird am Ende mehr Probleme verursachen als nicht. Sie haben Recht, diese Auswahl ist genau dann notwendig, wenn wir aus unendlich vielen Mengen auswählen müssen, da ZF beweist, dass jede endliche Familie nicht leerer Mengen eine Auswahlfunktion zulässt. Und tatsächlich können wir in manchen Situationen eine Auswahlfunktion "von Hand" definieren und uns so nicht auf das Axiom selbst verlassen (zB das Minimum einer Menge natürlicher Zahlen). Aber es gibt einen Grund, warum viele entschiedene Gegner des Auswahlaxioms es tatsächlich implizit verwendeten (oder vielmehr implizit schwache Formen davon verwendeten).

Ein prominenter Mathematiker sagte mir einmal, dass das Kennzeichen einer guten grundlegenden Theorie der Mathematik darin besteht, dass man es nicht merkt, wenn man sie anwendet. Das heißt, es gibt Ihnen die Freiheit, sich auf die Mathematik zu konzentrieren. Das Axiom der Wahl erfüllt meistens genau diese Kriterien. Ich würde also sagen, dass Ihre Idee richtig ist, aber Sie sollten nicht "wenn und nur wenn" dort einfügen. Nimm es stattdessen als eine leitende Intuition, um damit zu beginnen.

1. Wenn Sie Formeln als "Objekte im Universum" diskutieren wollen (zB ein Polynom oder Exponent usw.), dann schießen Sie sich bereits selbst ins Knie. Selbst wenn Sie alle "vernünftigen" Symbole in Ihrer Sprache zulassen, haben Sie immer noch eine zählbare Anzahl davon, und selbst wenn Sie einige unendliche Operationen (z. B. Grenzen) zulassen, werden Sie am Ende immer noch nicht mehr als haben$2^{\aleph_0}$Funktionen. Und ach, die Anzahl der Funktionen aus$\Bbb{R\to R}$ist in der Tat$2^{2^{\aleph_0}}$. Also noch einmal, die meisten Funktionen haben keine Definitionsformel.