Name für Funktionen mit bestimmter Begrenztheitseigenschaft

Question

Name für Funktionen mit bestimmter Begrenztheitseigenschaft

Funktionen
Mathematik
Terminologie
metrische Räume
Allgemeine Topologie

Léreau

Lassen $f: X_1 \rightarrow X_2$ eine Funktion zwischen zwei metrischen Räumen sein. Meine Frage ist, ob es in der Standardliteratur einen Namen für die folgende Eigenschaft von gibt $f$ In $x \in X_1$ :

$(1) \forall ε > 0 \exists δ > 0 : {Ich bin}_{F} (B_{ε} (X)) \subseteq B_{δ} (F (X))$ $(1)~~~~~~~~~~~ \forall \varepsilon > 0 ~~\exists \delta > 0 :~~\operatorname{im}_f(B_\varepsilon(x) ) \subseteq B_\delta(f(x))$ dh das Bild von jedem $\varepsilon$ -Ball ist begrenzt.

Bei der Suche nach offensichtlichen Kandidaten für einen Namen fand ich nur den Begriff „lokale Begrenztheit“. $x$ '' was in diesem Fall ausgedrückt werden kann als

(2) \exists ε > 0 \exists δ > 0 : {Ich bin}_{| F |} (B_{ε} (X)) \subseteq B_{δ} (0)

$(2)~~~~~~~~~~~ \exists \varepsilon > 0 ~~\exists \delta > 0 :~~\operatorname{im}_{\vert f \vert}(B_\varepsilon(x) ) \subseteq B_\delta(0)$ Sie sind natürlich nicht gleichwertig, da zum Beispiel: die eigentliche Funktion

f (x) = x^{- 1}

$f(x)=x^{-1}$ ist in jedem Punkt lokal begrenzt

x \neq 0

$x \neq 0$ hat aber kein Eigentum

(1)

$(1)$ in jedem Punkt.

Robert Thingum

Ist der

δ

$\delta$ global erwähnt? Das heißt, ist die Bedingung

\forall ϵ > 0, \exists δ > 0, \forall x \in X_{1} \dots

$\forall\epsilon>0,\,\exists\delta>0,\,\forall x\in X_{1}\ldots$ die Bedingung, die Sie beabsichtigen, oder tut das

δ

$\delta$ darauf ankommen

x

$x$ ?

Robert Thingum

Eine Folge Ihrer Definition (unabhängig davon, ob die

δ

$\delta$ ist global) ist das, wenn

f : X_{1} \to X_{2}

$f:X_{1}\rightarrow X_{2}$ ist so eine Karte dann

f (X_{1}) \subseteq B (f (x), δ_{x})

$f(X_{1})\subseteq B(f(x),\delta_{x})$ für jeden

x \in X_{1}

$x\in X_{1}$ . Ich bin mir nicht sicher, ob Sie das wollen oder nicht.

Léreau

@RobertThingum Nein,

δ

$\delta$ soll nicht global sein. Die Quantifizierung war also eher beabsichtigt

\forall x \in X_{1} \forall ε \exists δ . . .

$\forall x \in X_1 ~\forall \varepsilon ~\exists \delta ~...$ , bedeutet

δ = δ (ε, x)

$\delta = \delta(\varepsilon,x)$ .

Léreau

@RobertThingum denke ich

f (X_{1}) \subseteq B (f (x), δ_{x})

$f(X_1) \subseteq B(f(x) , \delta_x)$ ist nur möglich, wenn

X_{1}

$X_1$ ist begrenzt. In dem Beispiel, das ich gegeben habe, funktioniert es nicht, da

f (R ∖ {0}) = R ∖ {0}

$f(\mathbb{R} \setminus \{0\} ) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ .

Robert Thingum

Ihre Funktionen sehen aus wie geborene Funktionen. en.wikipedia.org/wiki/Bornological_space#Bounded_maps

Léreau

@RobertThingum Ja! Das passt genau zu dem, wonach ich gesucht habe; Vielen Dank! Sie können eine Antwort schreiben, wenn Sie möchten.

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Name für Funktionen mit bestimmter Begrenztheitseigenschaft

Ist der $\delta$ global erwähnt? Das heißt, ist die Bedingung $\forall\epsilon>0,\,\exists\delta>0,\,\forall x\in X_{1}\ldots$ die Bedingung, die Sie beabsichtigen, oder tut das $\delta$ darauf ankommen $x$ ?
Eine Folge Ihrer Definition (unabhängig davon, ob die $\delta$ ist global) ist das, wenn $f:X_{1}\rightarrow X_{2}$ ist so eine Karte dann $f(X_{1})\subseteq B(f(x),\delta_{x})$ für jeden $x\in X_{1}$ . Ich bin mir nicht sicher, ob Sie das wollen oder nicht.
@RobertThingum Nein, $\delta$ soll nicht global sein. Die Quantifizierung war also eher beabsichtigt $\forall x \in X_1 ~\forall \varepsilon ~\exists \delta ~...$ , bedeutet $\delta = \delta(\varepsilon,x)$ .
@RobertThingum denke ich $f(X_1) \subseteq B(f(x) , \delta_x)$ ist nur möglich, wenn $X_1$ ist begrenzt. In dem Beispiel, das ich gegeben habe, funktioniert es nicht, da $f(\mathbb{R} \setminus \{0\} ) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ .
Ihre Funktionen sehen aus wie geborene Funktionen. en.wikipedia.org/wiki/Bornological_space#Bounded_maps
@RobertThingum Ja! Das passt genau zu dem, wonach ich gesucht habe; Vielen Dank! Sie können eine Antwort schreiben, wenn Sie möchten.

Robert Thingum · Answer 1

Die Funktionen überzeugen $(1)$ sind die Funktionen, die metrisch begrenzte Mengen von senden $X_{1}$ zu metrisch beschränkten Mengen von $X_{2}$ .

Siehe Folgendes

Bornologischer Raum im Wiki

Wenn Sie daran interessiert sind, einige Anwendungen dieser Art von Funktionen in einem aktiven Forschungsgebiet zu lesen, sollten Sie sich mit grober Geometrie befassen.

Grobräume im Wiki

Ist es richtig zu sagen $f$ bewahrt metrisch begrenzte Mengen?
So würde ich sagen. Das könnte man auch sagen $f$ bewahrt einfach "Beschränktheit".

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Alex Vong

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