Gleichmäßige Topologie ist feiner als die Produkttopologie auf RNRN\mathbb{R}^\mathbb{N}

Ich möchte zeigen, dass die uniforme Topologie feiner ist als die Produkttopologie auf abzählbaren kartesischen Produkten$\mathbb{R}$bezeichnet$\mathbb{R}^\mathbb{N}$

Wir wissen, dass beide Räume metrisierbar sind:

• Die Metrik auf die Produkttopologie auf$\mathbb{R}^\mathbb{N}$wird angenommen:

$$d_p(x,y) = \sup_{n\in \mathbb{N}}(\dfrac{1}{n}\min\{1, |x_n-y_n|\})$$

• Die Metrik weist die einheitliche Topologie auf$\mathbb{R}^\mathbb{N}$wird angenommen:

$$d_u(x,y) = \sup_{n\in \mathbb{N}}(\min\{1, |x_n-y_n|\})$$

Ich bin mir nicht sicher, wie ich genau vorgehen soll, lassen Sie mich versuchen, ihre metrischen Kugeln zu vergleichen:

$$B_\epsilon^p(x) =\{y \in \mathbb{R}^\mathbb{N}| \sup_{n\in \mathbb{N}}(\dfrac{1}{n}\min\{1, |x_n-y_n|\})< \epsilon\}$$

$$B_\epsilon^u(x) =\{y \in \mathbb{R}^\mathbb{N}| \sup_{n\in \mathbb{N}}(\min\{1, |x_n-y_n|\})< \epsilon\}$$

(Diese metrischen Bälle sind gelinde gesagt erschreckend ...)

Dann ist die einheitliche Topologie feiner als die Produkttopologie, wenn wir für jede grundlegende offene Menge in der einheitlichen Topologie eine grundlegende offene Menge in die Produkttopologie einpassen können, dh$B^p \subseteq B^u \Leftrightarrow \mathcal{T}^u \subseteq \mathcal{T}^p$

Die metrischen Kugeln sind genau die grundlegenden offenen Mengen.

Der Anspruch ist also$B_\epsilon^p(x) \subseteq B_\epsilon^u(x)$

Versuchen:

Fix$x$. Nehmen$y \in B_\epsilon^p(x)$, Dann$\sup_{n\in \mathbb{N}}(\dfrac{1}{n}\min\{1, |x_n-y_n|\})< \epsilon$... bedeutet dies zwangsläufig$\sup_{n\in \mathbb{N}}(\min\{1, |x_n-y_n|\})< \epsilon$? Es scheint, es wäre umgekehrt, wenn$\sup_{n\in \mathbb{N}}(\min\{1, |x_n-y_n|\})< \epsilon$(der größere Typ ist kleiner als$\epsilon$) Dann$\sup_{n\in \mathbb{N}}(\dfrac{1}{n}\min\{1, |x_n-y_n|\})< \epsilon$(der kleinere Kerl ist kleiner als$\epsilon$)

Ich bin verwirrt, kann jemand helfen?