Beweisen Sie die äquivalenten Bedingungen für nirgendwo dichte Teilmenge.

Lassen$(X,d)$ein metrischer Raum sein und$A$sei eine Teilmenge von$X$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

1. $A$ist nirgends dicht.

2. $\overline{A}$enthält keine nicht leere offene Menge.

3. Jede nicht-leere offene Menge hat eine nicht-leere offene Teilmenge, von der disjunkt ist
   $\overline{A}$

4. Jede nicht-leere offene Menge hat eine nicht-leere offene Teilmenge, von der disjunkt ist
   ${A}.$

5. Jede nicht-leere offene Menge hat eine nicht-leere offene Sphäre, von der disjunkt ist
   ${A}.$

Es sind die Aussagen im Lehrbuch „Topology and modern analysis“ von GF Simmons.

Mein Versuch:- $(1)\implies (2)$

Lassen$A$sei eine nirgendwo dichte Teilmenge von$X$. Angenommen, es gibt eine offene Menge$U$drinnen liegen$\overline A$. Das ist jeder Punkt innerhalb der offenen Menge$U$wird ein innerer Punkt von sein$\overline A.$Was dem widerspricht$A$ist nirgendwo dicht.

$(2)\implies (1)$

Jeder offene Ball ist eine offene Menge. Also, jeder offene Ball zentriert sich auf den Punkt aus$\overline A$liegt nicht drin$\overline A$. Also Innenraum von$\overline A$ist leer. Somit,$A$ist eine nirgendwo dichte Teilmenge von$X$.

$(1)\implies (3)$

Vermuten$A$ist nirgendwo dicht und Angenommen, es existiert eine nichtleere offene Menge$U$von$X$so dass wenn$V$eine nicht leere Teilmenge von ist$U$Dann$V\cap \overline A \neq \emptyset.$Lassen$x\in U$, Wo$U$ist eine offene Menge. Nach unserer Annahme, If$W$ist eine offene Menge enthalten$x$. So,$x\in W\cap \overline A \neq \emptyset.$Dann,$x\in W\cap U\subseteq U$, So$x\in W\cap U\cap \overline A \neq \emptyset \implies$ $U\cap \overline A \neq \emptyset.$Somit,$x\in \overline{\overline{A}}=\overline{A}.$Daher das Innere von$\overline{A}\neq \emptyset.$Was dem widerspricht$A$ist nirgends dicht.

$(3)\implies (4)$

Jede nicht-leere offene Menge hat eine nicht-leere offene Teilmenge, von der disjunkt ist$\overline{A}$. Wir wissen das$A\subseteq \overline A.$Jede nicht-leere offene Menge hat eine nicht-leere offene Teilmenge, von der disjunkt ist${A}.$

$(4)\implies (5)$.

Für jede nichtleere offene Menge$U$Da ist eine offene Kugel, die drin liegt$U.$Daher hat jede nicht leere offene Menge eine nicht leere offene Sphäre, von der sie disjunkt ist${A}.$

$(5)\implies (1)$

Vermuten$A$ist nicht nirgendwo dichte Teilmenge von$X$und befriedigt$(5).$ $A$ist nicht nirgendwo dichte Teilmenge von$X \implies$Innenraum von$\overline {A}$ist nicht leer. Lassen$x\in$Innenraum von$\overline {A}$Es existiert also eine offene Menge, die enthält$x$,$U$, liegt drinnen$\overline {A}.$Daher gibt es eine offene Sphäre, die auf zentriert ist$x$liegt drinnen$\overline {A}$. Was widerspricht$(5)$.

Ist meine Argumentation richtig?