Ein metrischer Raum ist vollständig, wenn jede abgeschlossene und beschränkte Teilmenge davon kompakt ist

Der Satz$\{x_n\}$ist im Allgemeinen nicht geschlossen, sondern seine Schließung$\overline{\{x_n\}}$Ist. Sie müssen nur beweisen, dass der Abschluss einer beschränkten Menge wieder beschränkt ist, um Ihren Beweis zu korrigieren.

Hier ist eine modifizierte Version des Beweises, von dem ich glaube, dass er alle Lücken füllt:

Betrachten Sie eine Cauchy-Folge$(x_{k} : k)$In$X$. Die Grenzpunkte dieser Folge seien bezeichnet$L$. Das behaupte ich$L$ist nicht leer und enthält genau einen Punkt. Dann eindeutig der einzige Punkt in$L$ist der Grenzwert, also konvergiert es.

Notieren Sie sich das zunächst$(x_{k}:k)$ist begrenzt, weil$X$ist ein metrischer Raum. Als solches muss ein offener Ball vorhanden sein$B$enthält die Sequenz vollständig. Die Schließung$\mathrm{cl}(B)$ist kompakt nach Annahme und daher nach sequentielle Kompaktheit$(x_{k} : k)$muss mindestens einen einzigen Grenzpunkt haben. Mit anderen Worten,$L$ist nicht leer.

Als nächstes, warum kann$L$nicht mehr als einen Punkt enthalten? Nehmen Sie an, dass es unterschiedliche Punkte enthält$y$Und$z$, und lass$\epsilon = d(y,z)$. Da sie Grenzpunkte sind, für jeden$\delta > 0$es muss unendlich viele Punkte geben$\{ x_{k} : k \}$die in Reichweite sind$\delta$von$y$und von$z$. Dies ist jedoch unmöglich, wenn wir uns dafür entscheiden$\delta < \epsilon/4$. Das heißt, wenn$x_{y}$ist ein Punkt in der Nähe$y$Und$x_{z}$ist ein Punkt in der Nähe$z$, Dann$d(x_{y}, x_{z}) > \epsilon - 2\delta = \epsilon / 2$durch die Dreiecksungleichung. Das heißt, egal wie weit wir in der Sequenz schauen, wir können Entfernungspunkte finden$\epsilon/2$voneinander weg. Dies verstößt gegen die Cauchy-Annahme. Deshalb,$L$hat genau einen Punkt.