Ist ein Abschluss eine disjunkte Vereinigung von Grenzpunkten und isolierten Punkten

Das zu sehen$S_1 \cap S_2 = \emptyset$Sie müssen nur bemerken, dass ein isolierter Punkt von$S$(also ein Punkt in$S_2$) ist sicherlich kein Grenzpunkt von$S$, dh ein Punkt von$S_1$.

Ihr anderes Argument trägt wesentlich zum Beweis der Gleichheit bei$\overline{S} = S_1 \cup S_2$, obwohl.

Erste,$S_1 \subset \overline{S}$, trivial, und$S_2 \subset S$, also sicher$S_2 \subset \overline{S}$, sich um die Inklusion zu kümmern$S_1 \cup S_2 \subset \overline{S}$.

Jetzt (zu sehen$\overline{S} \subset S_1 \cup S_2$): Wenn$x \in \overline{S}$, dann kann es ein Grenzpunkt von sein$S$, und wir wären fertig, oder es gibt einen Ball$B(x,r)$nur endlich viele Punkte enthält$S$, sagen$s_1,\ldots, s_n$. Wenn$x$gehört nicht zu den$s_i$, würden wir nehmen$r'$kleiner als$r$und alles$d(x, s_i)$und einen Ball haben$B(x,r')$um$x$fehlen$S$, was nicht sein kann$x \in \overline{S}$. So$x = s_i$für einige$i$. Aber jetzt nimm$r'$kleiner als$r$und alles$d(x, s_j)$, Wo$j \neq i$, und wir haben$B(x, r') \cap S = \{x\}$, So$x \in S_2$.

Kurz gesagt, Ihr Argument (leicht erweitert) zeigt dies$x \in \overline{S}$Und$x \notin S_1$, Dann$x \in S_2$, was die erforderliche andere Inklusion zeigt.

In einem metrischen Raum$X$, die Schließung von$S$ist die Menge aller Punkte$x \in X$so dass$x_n \to x$für irgendeine Folge$\{x_n\}_n$Punkte ab$S$. Seien Sie vorsichtig, die konstante Reihenfolge ist erlaubt, und deshalb brauchen Sie isolierte Punkte (Zugehörigkeit zu$S$, Natürlich).