Welche der folgenden Metriken ist vollständig?

Welche der folgenden Aussagen ist/sind wahr?

  1. ( 0 , 1 ) mit der üblichen Topologie gibt es eine Metrik, die vollständig ist.

  2. ( 0 , 1 ) mit der üblichen Topologie lässt eine Metrik zu, die nicht vollständig ist.

  3. [ 0 , 1 ] mit der üblichen Topologie gibt es eine Metrik, die vollständig ist.

  4. [ 0 , 1 ] mit der üblichen Topologie lässt eine Metrik zu, die nicht vollständig ist.

Mein Versuch:

Betrachten Sie eine Sequenz < 1 N > N = 2 ∞ In ( 0 , 1 ) Dies ist eine Cauchy-Folge, die jedoch nicht konvergiert ( 0 , 1 ) Somit ( 0 , 1 ) ist nicht vollständig mit der üblichen Topologie.

Wir wissen, dass jede kompakte Metrik vollständig ist. [ 0 , 1 ] ist abgeschlossen und beschränkt und damit kompakt. Option 3 ist also wahr. Bitte helfen Sie mir bei anderen Optionen.

Vollständigkeit ist ein metrisches Konzept, da es von der Cauchy-Nähe abhängt. Mit nur einer Topologie kann man in der Regel nicht viel über Vollständigkeit sagen. Was Sie sagen können , ist ( 0 , 1 ) mit der Standardmetrik ist nicht vollständig, also ist Punkt 2 wahr. Aber Punkt 1 hast du nicht widerlegt.
" [ 0 , 1 ] ist geschlossen und begrenzt. "Jeder topologische Raum ist in sich geschlossen. Damit Geschlossenheit nützlich ist, muss sie in Beziehung zu einem größeren Umgebungsraum stehen, und so etwas ist uns nicht gegeben. Und Begrenztheit macht in der Topologie keinen Sinn, auch das sind Sie Projizieren metrischer Eigenschaften auf topologische Räume.
Alle sind wahr bis auf 4

Antworten (2)

Hinweise: Überprüfen Sie, ob H ( T ) = Mindest { T , 1 − T } Dann | 1 H ( X ) − 1 H ( j ) | ist eine Metrik auf ( 0 , 1 ) die vollständig ist und die gleiche Topologie wie die übliche Topologie hat.

Für 2) nehmen Sie die übliche Metrik.

Zu 3) hast du die Antwort schon.

Für 4) beachten Sie, dass unter jeder anderen Metrik für die übliche Topologie [ 0 , 1 ] ist kompakt und kompakte metrische Räume sind notwendigerweise vollständig.

Für Ihren Hinweis zu 1) ist es nicht ( N N + 1 ) N = 1 ∞ eine nicht konvergierende Cauchy-Folge in dieser Metrik?
@Ingix Du hast recht. Ich habe das Argument für gegeben ( 0 , 1 ] . Ich habe die Antwort korrigiert.
Ich schätze | bräunen ⁡ ( π X − π 2 ) − bräunen ⁡ ( π j − π 2 ) | würde auch funktionieren, das streckt beide "enden" des intervalls um ∞ und ordnet das Intervall zu R .
@Ingix Mein Argument ist ein Standardargument, das verwendet wird, um das zu zeigen G δ Eine Menge (insbesondere jede offene Menge) in einem vollständigen metrischen Raum ist vollständig unter einer äquivalenten Metrik.

( 0 , 1 ) ist in der Standardmetrik nicht vollständig (Vollständigkeit ist ein metrischer Begriff, kein topologischer). Als ( 0 , 1 ) ≃ R es hat jedoch eine äquivalente vollständige Metrik.

[ 0 , 1 ] in der Standardtopologie und -metrik ist kompakt und damit vollständig in jeder kompatiblen Metrik. Aus diesem Grund ist 4 falsch; die anderen sind also wahr, wie wir gesehen haben.

Welche der folgenden Metriken ist vollständig?
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