Existenz einer Metrik auf Potenzmengen eines metrischen Raums

Lassen$(X,d)$ein metrischer Raum sein, lassen Sie$\mathbb{P}(X)$bezeichnet die Sammlung aller Teilmengen von$X$Und$\mathbb{K}(X)$sei die Sammlung aller nicht leeren kompakten Teilmengen von$X$. Das lässt sich zeigen$d_\mathbb{H}:\mathbb{K}(X)\times \mathbb{K}(X)\to \mathbb{K}(X)$definiert von

$$d_\mathbb{H}(A,B)=(\sup_{x\in A}\inf_{y\in B}d(x,y))\vee(\sup_{x\in B}\inf_{y\in A}d(x,y))$$ ist eine Metrik. Die Metrik$d_\mathbb{H}$heißt die Hausdorff-Metrik weiter$X$(Sollte ich Hausdorff-Metrik auf sagen$X$oder Hausdorff-Metrik an$\mathbb{K}(X)$?). Ich hatte gehofft, eine Metrik zu finden$d_\mathbb{P}$An$\mathbb{P}(X)$so dass auf die Einschränkung$d_\mathbb{P}$Zu$\mathbb{K}(X)$wir erhalten die Hausdorff-Metrik$d_\mathbb{H}$. Ich bin nicht in der Lage, eine solche Metrik zu finden. Bitte helfen Sie mit, eine solche Metrik zu erhalten, und wenn eine solche Metrik überhaupt nicht existieren kann, geben Sie mir die mathematische Begründung dafür.