Metrische Topologie auf geschlossener Menge

Ich hatte eine Frage zu folgendem Teil des Vorlesungsskripts:

Lassen$(X, d)$ein metrischer Raum sein. Dann für alle$\delta > 0$, definieren wir den offenen Ball als$B(x, \delta) := \{y \in X : d(x, y) < \delta\}$.

Eine Möglichkeit, offene Mengen eines metrischen Raums zu definieren, dh die metrische Topologie zu denen, besteht darin, einfach eine Menge zu deklarieren$U$offen, wenn um irgendeinen Punkt$x \in U$, können wir einen offenen Ball finden$B(x,\delta) \subseteq U$:

Lemma 2.4 (Metrische Topologie). Lassen$(X, d)$ein metrischer Raum sein. Definieren Sie eine Menge von Teilmengen$τ_d$wie folgt: wir erklären$U \subseteq X$offen sein (das heißt, wir setzen$U$angesagt sein$τ_d$), wenn für jeden$x \in U$, wir können einige finden$\delta > 0$so dass$B(x, \delta) \subseteq U$. Dann$τ_d$ist eine Topologie und wird metrische Topologie genannt.

Eine Topologie auf$X$muss X enthalten. Was ist, wenn der metrische Raum "geschlossen" ist? Zum Beispiel wenn$X=[0,1]$und der übliche Abstand auf reelle Zahlen (Absolutwert), dann für$U=X$Und$x=0$wir werden nicht in der Lage sein, a zu finden$\delta > 0$so dass$B(x, \delta) \subseteq X$.