Unterschied zwischen topologischem Raum und Topologie

Sie liegen falsch, wenn Sie behaupten, dass „eine Topologie auf$X$ist eine Sammlung offener Teilmengen von$X$die drei Eigenschaften erfüllen“. Eine Topologie auf$X$ist eine Kollektion$\tau$von Mengen, die drei Eigenschaften erfüllen, und dann sagen wir, dass eine Teilmenge$A$von$X$ist geöffnet wann (und nur wann)$A\in\tau$.

Und das sagen wir$F\subset X$wann ist geschlossen$F^\complement$ist offen. Also seit$\emptyset^\complement=X$Und$X\in\tau$,$\emptyset$ist geschlossen. Und da$X^\complement=\emptyset$Und$\emptyset\in\tau$,$X$ist geschlossen.

Eine Teilmenge eines topologischen Raums$X$kann sowohl offen als auch geschlossen sein. Die Eigenschaften schließen sich nicht gegenseitig aus.$\varnothing$Und$X$sind offene Teilmengen von$X$per Definition. Die abgeschlossenen Mengen sind diejenigen, deren Komplement offen ist. Deshalb,$\varnothing$Und$X$sind ebenfalls geschlossen.

Kommentare) Sie sollten unterscheiden$X$aus$\tau$. Wir nennen eine Menge$X$zusammen mit seiner Topologie$\tau$ein topologischer Raum. Wir schreiben es oft als$(X,\tau)$um dies zu verdeutlichen.$\tau$ist eine Familie jeder offenen Teilmenge von$X$wohingegen$X$ist nur ein satz. Aber in vielen Büchern rufen sie einfach nur an$X$einen topologischen Raum vorausgesetzt$\tau$versteht sich im Kontext.

Siehe Clopen-Set

Seit$X=\emptyset^\complement\;$Und$\;\emptyset=X^\complement\;$In jedem topologischen Raum sind sie also sowohl geschlossene als auch offene Mengen (Copens). In einem topologischen Raum sind dies die einzigen Clopens$\iff$Der Raum ist verbunden