Allgemeine Topologie- und Basisdefinition

In dem Buch „Introduction to Smooth Manifolds“ von John M. Lee definiert der Autor allgemeine Topologie und Basis als:

Eine Topologie auf einer Menge X ist eine Sammlung T von Teilmengen von X , offene Mengen genannt , erfüllt:

  1. X Und ∅ sind offen
  2. Die Vereinigung jeder Familie offener Mengen ist offen
  3. Der Durchschnitt jeder endlichen Familie offener Mengen ist offen

Eine Basis für eine Topologie auf X ist eine Sammlung B von Teilmengen von X so dass

  1. X = ∪ B ∈ B B
  2. Wenn B 1 , B 2 ∈ B Und X ∈ B 1 ∩ B 2 , es existiert B 3 ∈ B so dass X ∈ B 3 ⊂ B 1 ∩ B 2


Meine Fragen sind:

  • In der Topologiedefinition: Warum "Vereinigung einer Familie"? Warum nicht "Vereinigung finiter Elemente von T "? Das gleiche mit der Kreuzung.
  • In Basisdefinition: sind die gesetzt B offene Mengen? Wäre es anders, wenn wir die Basis als eine Sammlung allgemeiner Teilmengen betrachten? Und tut B 3 müssen eine streng korrekte Teilmenge von sein B 1 ∩ B 2 ?
Beachten Sie, dass es sich bei der Vereinigung nicht um die Vereinigung endlich vieler, sondern um die Vereinigung beliebig vieler Elemente handelt T . Für Schnittmengen erfordert die Nachfrage jedoch nur endliche Familien.

Antworten (2)

Für Ihren zweiten Punkt: Ja, die Sets sind offen (zumindest nachdem Sie die Topologie generiert haben) und nein B 3 muss nicht richtig sein.

Zum ersten Punkt: Vielleicht wäre eine bessere Frage zu fragen, warum wir verlangen, dass die Sammlung endlich ist, wenn wir über Schnittmengen sprechen. Betrachten wir die Standardtopologie auf der realen Leitung. Für jede N ∈ N definieren

ICH N = ( − 1 N , 1 N ) .
Jedes davon sind offene Mengen, aber
⋂ N = 1 ∞ ICH N = { 0 } .

Dies ist nicht geöffnet.

Zum zweiten Punkt, nein, sie sind nicht offen; Noch nicht. Sie sind beliebige Teilmengen, solange sie die gegebene Anforderung erfüllen. Dann können Sie diese Basis verwenden , um eine Topologie zu generieren (die Topologie besteht aus allen möglichen Vereinigungen von Elementen von B ), und sobald Sie das getan haben, die B ich wird Teil dieser Topologie und als solche offen sein.
@Arthur Fair Point, ich habe an das Endergebnis gedacht.

Ich werde versuchen, einen Standpunkt darüber zu erläutern, was eine Topologie darstellen soll. Hoffentlich wird es Ihnen ein Gefühl dafür geben, warum es nicht zu restriktiv ist, zu verlangen, dass beliebige Vereinigungen offener Mengen offen sind, und warum es (manchmal) zu restriktiv ist, zu verlangen, dass beliebige Schnittmengen offener Mengen offen sind.

Lassen F : R → R sei eine Funktion und betrachte die folgende Aussage.

Die Funktion F ist stetig bei X Wenn F ( j ) beliebig nah gemacht werden kann F ( X ) bereitgestellt j ∈ R ausreichend nah ist X .

Sie können sich eine Topologie so vorstellen, dass sie "willkürlich nahe" und "ausreichend nahe" eine strenge Bedeutung gibt, ohne sich auf eine Entfernung zu beziehen (und selbst wenn es keine Entfernungsfunktion gibt).

Durch eine Topologie können Sie die Anweisung " P ( X ; j ) gilt für alle X ausreichend nah dran j " durch " gibt es eine offene Menge U ∈ j so dass P ( X ; j ) gilt für alle X ∈ U ". Ebenso können Sie die Aussage " X beliebig nah gemacht werden kann j " von " X kann dazu gebracht werden, zu jeder offenen Menge zu gehören, die enthält j " .

Stellen Sie sich jetzt eine Familie vor B von offenen Mengen, die den obigen Aussagen eine sinnvolle Bedeutung geben. Wenn man darüber nachdenkt, sieht man das in der Familie τ erhalten, indem alle möglichen Vereinigungen aufgenommen werden B macht aus "hinreichend nah" und "beliebig nah" genau den gleichen Sinn. Daher ist es nicht zu restriktiv, eine beliebige Vereinigung offener Mengen zuzulassen, um offen zu sein. Wenn Sie jedoch beliebige Schnittpunkte zulassen, haben Sie möglicherweise ein Problem mit "willkürlich nahe": Ein Beispiel wird von Ken in einer anderen Antwort gegeben.

Hinweis: Die anderen Teile Ihrer Frage werden von Ken gut beantwortet.

Meinst du die Topologie auf Basis B des topologischen Raums ( X , T ) auferlegt, indem alle Vereinigungselemente der Basis genommen werden B ist genau T (wie Basis eines Vektorraums) ?
Ja, das ist eines der Dinge, die ich impliziere. Durch den Punkt (2) der Definition einer Basis B , die Menge beliebiger Vereinigungen von B ist unter endlichem Schnitt abgeschlossen.
Allgemeine Topologie- und Basisdefinition
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