Die K-Topologie erfüllt das Hausdorff-Axiom

Ich möchte beweisen, dass die Topologie auf$\mathbb{R}_K$erfüllt das Hausdorffsche Axiom.

Wir kennen die Topologie an$\mathbb{R}_K$wird von Basis generiert$(a,b)$Und$(a,b)-K$Wo$K =\{1/n\}_{n \in \mathbb{Z}_+}$.

Mein Versuch:

Lassen$a$Und$b$sind zwei unterschiedliche Punkte in$\mathbb{R}$. Dann gibt es zwei disjunkte Nachbarschaften$U$Und$V$die in der Standardtopologie offen sind. Da die Topologie auf$\mathbb{R}_K$ist feiner als die Standardtopologie,$\mathbb{R}_K$ist Hausdorff.

Ist der Beweis richtig?