Kontinuität des kartesischen Produkts von Funktionen zwischen topologischen Räumen

Ich möchte folgenden Satz beweisen:

Wenn$f:X\rightarrow X'$Und$g:Y\rightarrow Y'$stetige Funktionen zwischen topologischen Räumen sind, dann die Abbildung zwischen Produkträumen

$$f\times g:X\times Y\rightarrow X'\times Y', (x,y)\mapsto(f(x),g(y))$$ ist kontinuierlich.

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Ich verwende das unten geschriebene Theorem:

Satz. Lassen$X, Y$Seien topologische Räume und$X\times Y$ihren Produktbereich. Wenn$Z$ist ein topologischer Raum und$f:Z\rightarrow X\times Y$dann eine Kartierung$f$ist stetig gdw$p\circ f, q\circ f$sind kontinuierlich, wo$p:X\times Y\rightarrow X, q:X\times Y\rightarrow Y$sind Projektionen.

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Annehmen, dass$f:X\rightarrow X'$Und$g:Y\rightarrow Y'$sind stetige Funktionen zwischen topologischen Räumen.

Lassen$p':X'\times Y'\rightarrow X',q':X'\times Y'\rightarrow Y'$.

Dann nehmen wir das mal an$p'\circ f\times g, q'\circ f\times g$sind kontinuierlich. Lassen$W\subseteq X'\times Y'$sei offen. Dann gibt es offene Mengen$U_{i}\subseteq X'$Und$V_{i}\subseteq Y'$ $(i\in I)$so dass$U_i$ist geöffnet$X'$Und$V_{i}$ist geöffnet$Y'$von jedem$i\in I$und auch$W=\bigcup_{i\in I} U_i\times V_i$.

Weil

$$(f\times g)^{-1}(W)=(f\times g)^{-1}\bigg(\bigcup_{i\in I} U_i\times V_i\bigg)=\bigcup_{i\in I}(f\times g)^{-1}(U_{i}\times V_{i}),$$ es reicht, das zu zeigen$(f\times g)^{-1}(U_{i}\times V_{i})$ist für jeden geöffnet$i\in I$.

Jetzt,$U_{i}\times V_{i} = (U_{i}\times Y')\cap (X'\times V_{i})=p'^{-1}(U_i)\cap q'^{-1}(V_i)$.

Dann,

$$\begin{align*}(f\times g)^{-1}(U_{i}\times V_{i})&=(f\times g)^{-1}(p'^{-1}(U_i)\cap q'^{-1}(V_i))\\ &=(p'\circ f\times g)^{-1}(U_{i})\cap(q'\circ f\times g)^{-1}(V_i). \end{align*}$$ Nun gibt es auch Projektionen$p:X\times Y\rightarrow X, q:X\times Y\rightarrow Y$. Weil funktioniert$f,g$sind dann stetig$f\circ p, g\circ q$sind kontinuierlich.

Und vorwärts, weil$f\times g\circ p' = f\circ p$Und$f\times g\circ q' = g\circ q$Wir können fortfahren

$$(p'\circ f\times g)^{-1}(U_{i})\cap (q'\circ f\times g)^{-1}(V_i)=(f\circ p)^{-1}(U_i)\cap (g\circ q)^{-1}(V_{i})$$ was offen ist.

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Fest.