Der Kegel eines topologischen Raums ist kontrahierbar und einfach zusammenhängend

Ich hätte gerne Hilfe, um meinen Beweis zu überprüfen und streng zu machen.

Frage:

Lassen$X$sei ein topologischer Raum. Der Kegel an$X$, bezeichnet$CX$, ist der Quotientenraum$(X × [0, 1])/(X × \{0\})$. Beweise das$CX$ist kontrahierbar und einfach verbunden?

(Notiz:$X/A$ist der Quotientenraum$X/\mathord{∼}$für eine Äquivalenzrelation$∼$An$X$so dass die Äquivalenzklassen sind$A$selbst und die Singletons$\{x\}$so dass$x \notin A$.)

Meine Antwort:

Eine frühere Antwort von kobe zeigt das$CX$ist kontrahierbar:

Betrachten Sie die Karte$H: X \times [0,1] \times [0,1] → X \times [0,1]$definiert von$H((x,t),s) = (x(1-s)t)$. Dann$H$ist stetig und$H((x,0,s) = (x,0)$für alle$x∈X$Und$s∈[0,1]$.$H$induziert eine kontinuierliche Karte$\hat{H}$:$CX \times [0,1] → CX$so dass$\hat{H}([(x,t)],s) = [(x,(1-s)t)]$. Jetzt$\hat{H}[(x,t)],0) = [(x,t)]$Und$\hat{H}[(x,t)],1) = [(x,0)] = X \times \{0\}$. So$\hat{H}$ist eine Homotopie in$CX$von der Identität an$CX$auf den Punkt$X \times \{0\}$. Folglich,$CX$ist kontrahierbar.

$CX$ist einfach verbunden, weil es kontrahierbar ist. Um dies zu zeigen, zeigen wir, dass alle kontrahierbaren Räume einfach zusammenhängend sind. Lassen$X$durch Vertraglich. Wir werden zeigen, dass jede Schleife in$X$ist homotop, relativ zu$\{ 0,1 \}$, zur Konstantenschleife. Beachten Sie, dass die Homotopie$F$von der Identität an$X$zur konstanten Karte bei$x∈X$gibt uns eine Homotopie$G(s,t) = F(α(s),t)$aus jeder Schleife$α$basierend auf$x$zur konstanten Schleife bei$x$. Wir müssen zeigen, dass die Homotopie relativ zu ist$\{0,1\}$. Wir nutzen die Tatsache, dass das Quadrat$[0,1] \times[0,1]$ist konvex, also gibt es eine Geradenhomotopie$H$zwischen zwei beliebigen Pfaden aus$a$Zu$b$In$[0,1] \times [0,1]$, also sind zwei beliebige solcher Pfade homotop relativ zu$\{0,1\}$. Damit sehen wir, dass der Pfad entlang der linken Kante des Quadrats relativ zu homotop ist$\{0,1\}$, zum Pfad entlang der unteren Kante, die rechte Kante hinauf und zurück entlang der oberen Kante des Quadrats. Zusammensetzen der Homotopien$H$Und$G$gibt uns die Homotopie relativ zu$\{0,1\}$. Wir haben gezeigt, dass jede Schleife in$X$ist homotop, relativ zu$\{0,1\}$, mit der konstanten Schleife und damit mit dem Pfad verbunden und der Fundamentalgruppe$π_1(X,b)$für eine Schleife basierend auf$b$hat nur ein Element und$π_1(X,b) = \{e\}$Wo$e$ist eine Konstante.$X$ist wegzusammenhängend und hat eine triviale Fundamentalgruppe. Dann wird es einfach angeschlossen. Kontrahierbare Räume werden einfach verbunden. Dann$CX$ist einfach verbunden.