Warum kann man Kleidung auf rechts wenden?

Zunächst eine Warnung. Ich vermute, diese Antwort wird wahrscheinlich nicht sofort nachvollziehbar sein. Es gibt einen formalen Aufbau für Ihre Frage, es stehen Tools zur Verfügung, um zu verstehen, was vor sich geht. Sie sind keine besonders leichten Werkzeuge, aber sie existieren und verdienen es, erwähnt zu werden. Lassen Sie mich, bevor ich den Hauptsatz niederschreibe, einige Begriffe aufstellen. Die Werkzeuge gehören zu einem Fach namens Mannigfaltigkeitstheorie und algebraische Topologie . Die Namen der Werkzeuge, die ich verwenden werde, heißen Dinge wie: Theorem der Isotopieerweiterung, Faserbündel, Fibrationen und Homotopiegruppen.

Du hast eine Oberfläche$\Sigma$, es ist dein Hemd oder was auch immer dich interessiert, irgendeine Oberfläche im dreidimensionalen Raum. Oberflächen haben Automorphismusgruppen, lassen Sie es mich nennen$\operatorname{Aut}(\Sigma)$. Dies sind etwa alle Selbsthomöomorphismen oder Diffeomorphismen der Oberfläche. Und Oberflächen können im Raum sitzen. Eine Art, eine Oberfläche in den Raum zu bringen, wird als Einbettung bezeichnet. Nennen wir alle Einbettungen der Oberfläche$\operatorname{Emb}(\Sigma, \mathbb R^3)$.$\operatorname{Emb}(\Sigma, \mathbb R^3)$ist eine Menge, aber in der Topologie haben diese Mengen auch eine natürliche Topologie. Wir betrachten sie als einen Raum, in dem "in der Nähe" Einbettungen fast gleich sind, abgesehen von vielleicht einem kleinen Wackeln hier oder da. Die Topologie auf dem Satz von Einbettungen wird als kompakte offene Topologie bezeichnet (siehe Wikipedia für Details zu den meisten dieser Definitionen).

Okay, jetzt gibt es etwas formalen Unsinn. Betrachten Sie den Quotientenraum$\operatorname{Emb}(\Sigma, \mathbb R^3)/\operatorname{Aut}(\Sigma)$. Sie können sich dies als alle Möglichkeiten vorstellen$\Sigma$kann im Raum sitzen, aber ohne Beschriftung -- die Oberfläche hat keine Parametrisierung. Es ist also der Raum aller Unterräume von$\mathbb R^3$die zufällig zu Ihrer Oberfläche homöomorph sind.

Richard Palais hat ein wirklich nettes Theorem, das dies alles in einen angenehmen Kontext stellt. Die Präambel ist, dass wir uns alles so vorstellen müssen, als würde es in der Welt der glatten Mannigfaltigkeiten leben – glatte Einbettungen,$\operatorname{Aut}(\Sigma)$ist die Diffeomorphismengruppe der Oberfläche usw.

Es gibt zwei lokal triviale Faserbündel (oder etwas einfacher zu beweisende Serre-Fasern), dies ist das "globale" Isotopie-Erweiterungs-Theorem:

Das Palais-Theorem gibt Ihnen also zusammen mit der homotopischen langen exakten Sequenz einer Faserung eine Sprache, die es Ihnen ermöglicht, zwischen Automorphismen Ihrer Oberfläche und Bewegungen der Oberfläche im Raum zu übersetzen.

Das ist ein Theorem von Jean Cerf$\operatorname{Diff}(\mathbb R^3)$Ist verbunden. Eine kleine Diagrammverfolgung besagt, dass ein Automorphismus einer Oberfläche durch eine Bewegung dieser Oberfläche im 3-Raum genau dann realisiert werden kann, wenn sich dieser Automorphismus der Oberfläche auf einen Automorphismus des 3-Raums erstreckt. Bei geschlossenen Oberflächen hindert Sie das Jordan-Brouwer-Trennungstheorem daran, Ihre Oberfläche von innen nach außen zu drehen. Aber für nicht geschlossene Oberflächen haben Sie keine Werkzeuge mehr.

Um herauszufinden, ob Sie einen Automorphismus als Bewegung realisieren können, müssen Sie buchstäblich versuchen, ihn "mit den Händen" zu erweitern. Dies ist ein sehr allgemeines Phänomen - Sie haben eine Mannigfaltigkeit, die in einer anderen sitzt, aber selten erstreckt sich ein Automorphismus der Untermannigfaltigkeit auf die umgebende Mannigfaltigkeit. Sie sehen dieses Phänomen auch in verschiedenen anderen Zweigen der Mathematik - ein Automorphismus einer Untergruppe erstreckt sich nicht immer auf die Umgebungsgruppe usw.

Also versuchst du dein Glück und versuchst die Erweiterung selbst zu bauen. In gewisser Weise ist das eine formale Analogie zwischen dem viszeralen Mysterium, die Oberfläche von innen nach außen zu wenden, und einer Art formalisiertem mathematischem Problem, aber mit einem grundlegend analogen Gefühl.

Wir suchen nach Automorphismen, die die Orientierung umkehren. Für eine beliebige Fläche mit Begrenzung im 3-Raum ist nicht klar, ob Sie die Fläche umstülpen können . Dies liegt daran, dass die Oberfläche verknotet sein könnte. Ungeknotete Oberflächen sind Beispiele wie Ihr T-Shirt. Lassen Sie uns versuchen, etwas zu kochen, das nicht umgekrempelt werden kann.

Die Automorphismengruppe einer 3-fach punktierten Kugel hat 12 Wegkomponenten (12 Elemente bis zur Isotopie). Es gibt 6 Elemente, die die Orientierung beibehalten, und 6, die sie umkehren. Insbesondere die orientierungsumkehrenden Automorphismen kehren die Orientierung aller Randkreise um. Wenn Sie sich also eine geknotete Hose (3-fach durchstochene Oberfläche) ausdenken könnten, deren Begrenzungskreise keine Symmetrie zulassen, die die Ausrichtung aller drei Kreise gleichzeitig umkehrt, wären Sie fertig.

Vielleicht erscheint Ihnen das nicht wie eine Reduktion, aber es ist eine.

Zum Beispiel gibt es Dinge, die als nicht invertierbare Knoten bezeichnet werden:

http://en.wikipedia.org/wiki/Invertible_knot

Wie machen wir daraus eine geknotete Hose?

Hier ist die Idee. Der nicht umkehrbare Knoten im obigen Link wird manchmal aufgerufen$8_{17}$. Hier noch ein Bild davon:

http://katlas.org/wiki/8_17

Hier ist eine Variante dazu.

Interpretieren Sie dieses Bild als Papierband mit drei Begrenzungskreisen. Ein Begrenzungskreis ist ungeknotet. Einer ist$8_{17}$. Der andere ist ein anderer Knoten.

Es stellt sich heraus, dass andere Knoten nicht trivial sind, noch ist es$8_{17}$.

Warum also kann diese geknotete Hose nicht auf links gewendet werden? Nun, die drei Knoten sind verschieden, und$8_{17}$kann nicht rückgängig gemacht werden.

Der Grund, warum ich den anderen Knoten kenne, ist nicht$8_{17}$? Es ist ein hyperbolischer Knoten und hat eine andere ($4.40083...$) hyperbolisches Volumen als$8_{17}$($10.9859...$).

FYI: In gewissem Sinne ist dies eine der einfachsten Oberflächen mit nicht trivialer Grenze, die nicht umgestülpt werden kann. Alle Scheiben können umgestülpt werden. Ebenso können alle Ringe (egal wie sie geknüpft sind) umgestülpt werden. Für Oberflächen der Gattung Null sind also 3 Grenzkomponenten das Mindeste, was Sie haben können, wenn Sie nach einer Oberfläche suchen, die nicht von innen nach außen gedreht werden kann.

bearbeitet, um Jasons Kommentar zu korrigieren.

später hinzugefügter Kommentar: Ich schlage vor, wenn Sie ein Kleidungsstück dieser Form kaufen, senden Sie es an den Hersteller zurück.

Alles, was ich trage, ist eine topologische Kugel mit Löchern (T-Shirts haben 4, Hosen 3, Schuhe und Socken 1), in denen jedes Loch funktioniert.

Anstelle eines langärmligen Hemdes mit zusammengenähten Armen sollten Sie eine Hose mit zusammengenähten Beinen in Betracht ziehen, um einen topologischen Torus mit einem Loch zu bilden (wenn Sie sie also tragen würden, würden sich Ihre Füße berühren und es wäre unmöglich, sie anzuziehen Schuhe an). Diese Hose hat zwei Parameter, die in etwa konstant sind, den Beinumfang und die Gesamtlänge der beiden Beine.

Wenn es durch die Taille nach außen gedreht wird, tauschen diese Parameter die Rollen, sodass Sie einen Schlauch von etwa der Länge eines Hosenbeins mit einer Öffnung an jedem Ende haben, genauso als hätten Sie ein Bein nach außen gedreht und gedrückt andere Bein vor dem Nähen hindurch.

Ich denke, dass dies mit echter toroidaler Kleidung (z. B. einem Rock) möglich wäre, solange sie dünn genug ist, da der Vorgang keine Dehnung erfordert.

Ich werde versuchen, eine leichter gewürzte Version meiner vorherigen Antwort zu geben. Ich möchte die vorherige lieber nicht mehr bearbeiten, also hier eine weitere Antwort. Ich möchte klarstellen, dass diese Antwort an Sie gerichtet ist , nicht an Ihren 10-jährigen Neffen. Wie Sie diese Antwort auf eine Person übertragen, hängt mehr von Ihnen und dieser Person ab als von allem anderen.

Schauen Sie sich die Wikipedia-Seite für Diffeomorphismus an . Insbesondere das Leitbild

Wenn ich mir dieses Bild anschaue, sehe ich das standardmäßige kartesische Koordinatengitter, aber ein wenig deformiert.

Es gibt ein "großes Theorem" in einem Fach namens Manifold Theory und sein Name ist das "Isotopy Extension Theorem". Außerdem hat es viel mit solchen Bildern zu tun.

Das Isotopieerweiterungstheorem ist ungefähr diese Konstruktion: Angenommen, Sie haben etwas Gummi und es sitzt in einem Medium aus flüssigem Epoxid, das fast ausgehärtet ist. Stellen Sie sich außerdem das Epoxid mehrfarbig vor. Wenn Sie also das Gummibit im Epoxid bewegen, "verfolgt" das Epoxid das Gummiobjekt. Wenn Ihr Epoxid ursprünglich ein fröhliches Gesicht eingefärbt hatte, sehen Sie nach dem Bewegen des Gummis ein deformiertes fröhliches Gesicht.

So erhalten Sie Bilder, die sehr nach gemischter Farbe aussehen. Rühren Sie verschiedene Farbflecken um, und die Farbe wird verzerrt. Je mehr Sie rühren, desto mehr vermischt es sich und es wird immer schwieriger, das ursprüngliche Bild zu sehen. Wichtig ist, dass die gemischte Farbe so etwas wie eine "Aufzeichnung" davon ist, wie Sie Ihr Gummiobjekt bewegt haben. Und wenn Ihre Bewegung des Gummiobjekts es in seine Ausgangsposition zurückbringt, gibt es eine Funktion

Wo$X$sind alle Positionen außerhalb Ihres Gummiobjekts. Gegeben$x \in X$Sie können fragen, wo sich das Farbpartikel befindet$x$ging nach dem Mischen, und nennen Sie diese Position$f(x)$.

Mein ganzes Gerede über Faserbündel und Homotopiegruppen in der vorherigen Antwort war eine Kodierung der obigen Idee auf "hoher Ebene". Ein Zwischenschritt bei der Formalisierung dieser Idee ist die Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung, und diese Differentialgleichung ist im Wesentlichen die obige "Farbmischidee", falls Sie sich später näher mit diesem Thema befassen möchten.

Was bedeutet das also? Eine Bewegung eines Objekts von einer Ausgangsposition zurück in die Ausgangsposition gibt Ihnen eine Vorstellung davon, wie Sie Farbe außerhalb des Objekts "mischen". Oder anders gesagt, es gibt Ihnen einen Automorphismus des Komplements, in unserem Fall ist das eine 1-1, kontinuierliche bijektive Funktion zwischen dem dreidimensionalen Raum ohne das Kleidungsstück und sich selbst.

Sie finden es vielleicht seltsam, aber Mathematiker untersuchen seit weit über 100 Jahren das „Farbmischen“ in allen möglichen mathematischen Objekten, einschließlich „dem Raum außerhalb von Kleidungsstücken“ und weitaus bizarreren Objekten. Dies ist das Thema dynamischer Systeme. "Kleidungsstücke" sind ein ganz besonderer Fall, da es sich um Teilmengen des dreidimensionalen euklidischen Raums und somit um 3-Mannigfaltigkeiten handelt. In den letzten 40 Jahren hat sich unser Verständnis von 3-Mannigfaltigkeiten verändert und unser Verständnis der Dinge ernsthaft verändert. Um Ihnen ein Gefühl dafür zu vermitteln, was dieses Verständnis ist, beginnen wir mit den Grundlagen. 3-Mannigfaltigkeiten sind Dinge, die in kleinen Maßstäben genauso aussehen wie der "normale" 3-dimensionale euklidische Raum. 3-Mannigfaltigkeiten sind also ein Beispiel für das "Problem der flachen Erde". Denken Sie an die Idee, dass die Erde vielleicht wie ein flaches Blatt Papier ist, das ewig weitergeht. Einige Leute haben das (anscheinend) irgendwann geglaubt. Und oberflächlich betrachtet hat es als Idee einiges zu bieten. Der Beweis, dass die Erde nicht flach ist, erfordert etwas Aufbauarbeit.

Wie auch immer, also 3-Mannigfaltigkeiten sind der nächste Schritt. Vielleicht ist nicht der ganze Raum in gewissem Sinne flach. Das ist ein kniffliges Konzept, das Sinn ergibt, da Raum in nichts „in“ ist – im Grunde genommen würden wir per Definition Raum nennen, was auch immer drin ist, oder? Seltsamerweise ist es nicht so einfach. Ein Typ namens Gauss entdeckte, dass es eine Möglichkeit gibt, dem Raum einen Sinn zu geben, der nicht flach ist, ohne dass der Raum in etwas Größerem sitzt. Das heißt, Krümmung ist eine relative Sache, nicht etwas, das von einem äußeren absoluten Standard beurteilt wird. Diese Idee war eine Offenbarung und brachte die Idee einer abstrakten Mannigfaltigkeit hervor . Um den Begriff zusammenzufassen, hier ein kleines Gedankenexperiment.

Stellen Sie sich eine Rakete vor, an deren Schwanz ein Seil befestigt ist, dessen anderes Ende mit der Erde verbunden ist. Die Rakete hebt ab und fliegt direkt von der Erde weg. Jahre später kehrt die Rakete aus einer anderen Richtung zurück, und wir greifen beide losen Enden des Seils und ziehen daran. Wir ziehen und ziehen, und bald ist das Seil gespannt. Und das Seil bewegt sich nicht, es ist straff. als würde es an etwas kleben. Aber das Seil berührt nichts außer deinen Händen. Natürlich können Sie nicht das gesamte Seil auf einmal sehen, da das Seil den (sehr langen) Weg der Rakete nachzeichnet. Aber wenn man an dem Seil entlang klettert, kann man nach Jahren feststellen: es ist endlich lang, es berührt nichts, außer wo es auf der Erde festgenagelt ist. Und es lässt sich nicht einziehen.

Dies ist, was ein Topologe ein Loch im Universum nennen könnte . Wir haben abstrakte Vorstellungen von dieser Art von Objekten ("Löcher im Universum"), aber von Natur aus sind sie nicht besonders einfach zu visualisieren - auch nicht unmöglich, aber es erfordert Übung und etwas Training.

In den 1970er Jahren begannen wir durch die Arbeit vieler Mathematiker zu verstehen, wie wir 3-Mannigfaltigkeiten erwarteten. Insbesondere hatten wir Verfahren, um sie alle zu konstruieren, und eine ungefähre Vorstellung davon, wie viele Varianten davon es geben sollte. Die Vermutungsbeschreibung von ihnen wurde Geometrisierungsvermutung genannt . Es war zu seiner Zeit eine Offenbarung, da es implizierte, dass viele unserer traditionellen Vorstellungen von Geometrie aus dem Studium von Oberflächen im dreidimensionalen Raum auf die Beschreibung aller dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten übertragen werden. Die Geometrievermutung wurde erst 2002 bewiesen .

Das Ergebnis dieser Theorie ist, dass dreidimensionale Mannigfaltigkeiten gewissermaßen „kristallisieren“ und auf bestimmte Standardwege auseinanderbrechen. Dies zwingt jede Art von Dynamik auf einer 3-Mannigfaltigkeit (wie "Farbmischen außerhalb eines Kleidungsstücks"), diese Kristallisierung zu respektieren.

Wie finde ich also ein Kleidungsstück, das man nicht auf links drehen kann? Ich stelle einen her, damit sein Äußeres so kristallisiert, wie ich es verstehe. Insbesondere finde ich eine Ergänzung, die eine solche Umstülpung nicht zulässt. Die Tatsache, dass diese Dinge existieren, ist ziemlich heikel und erfordert Arbeit, um sie zu erkennen. Es ist also nicht besonders einfach, den Beweis zu erklären. Aber das ist die wesentliche Idee.

Bearbeiten: Um ein bisschen mehr zu sagen, es gibt eine bestimmte Art und Weise, wie diese "Kristallisation" extrem schön sein kann. Eine der einfachsten Arten von Kristallisationen tritt auf, wenn Sie es mit einer hyperbolischen Mannigfaltigkeit mit endlichem Volumen zu tun haben. Das kommt öfter vor, als Sie vielleicht denken – und es ist die Schlüsselidee, die in dem Beispiel in meiner vorherigen Antwort funktioniert. Die Zerlegung ist in diesem Fall etwas ganz Besonderes, da es eine sogenannte „Epstein-Penner-Zerlegung“ gibt, die eine kanonische Möglichkeit bietet, das Komplement in konvexe Polytope zu schneiden. Dinge wie Tetraeder, Oktaeder, Ikosaeder usw., sehr Standardobjekte. Daher wird das Verständnis der Dynamik von "Kleidungsstücken" häufig zum Verständnis der Geometrie konvexer Polytope (dh das Problem "reduziert sich auf") - die Art von Dingen, mit denen sich Euklid sehr wohl fühlte. Insbesondere gibt es eine Software namens "SnapPea", die ziemlich einfache Berechnungen dieser Dinge ermöglicht.

_{(Quelle: utk.edu )}

Bilder von der Webseite von Morwen Thistlethwaite . Dies sind Bilder des eng verwandten Begriffs einer "Dirichlet-Domäne".

Hier ist ein Bild der Dirichlet-Domäne für die Ergänzung von$8_{17}$, die Schlüsselidee bei der Konstruktion meines vorherigen Beitrags.

Dirichlet-Domäne für das Komplement von$8_{17}$

Technisch gesehen ist dies das Poincare-Modell für den hyperbolischen Raum, was ihm das gezackte / kurvige Aussehen verleiht.

EDIT: Dieser Artikel von Christopher Zeeman aus dem Jahr 1993 diskutiert unter anderem das Problem, ein Kleid auf links zu drehen. Die ersten paar Absätze auf Seite 101 geben eine praktische Anwendung dieses Themas, und das Material auf Seite 102 nimmt die Antworten von Ryan und mir vorweg (um zwei Jahrzehnte ...)

Die Wikipedia-Seite für den Torus hat eine sehr schöne Animation eines punktierten Torus, der sich von innen nach außen dreht. Wenn Sie die beiden Manschetten einer Hose zusammennähen, können Sie das Ergebnis auf die gleiche Weise umstülpen. Sie müssen die Manschetten auf einfachste Weise ohne Knoten anbringen, um einen Torus mit Loch zu erhalten, keine Kleinflasche mit Loch.

Wie Ryan sagt, ist es nicht möglich, jedes Kleidungsstück auf links zu drehen, aber solche "schlechten" Kleidungsstücke müssen irgendwie geknotet werden. Hier ist ein Beispiel, vielleicht etwas einfacher als das von Ryan, das hyperbolische Geometrie vermeidet :). Nehmen Sie eine Hose, binden Sie die Beine in einem Überhandknoten und nähen Sie die Manschetten zusammen, um einen geknoteten, durchstochenen Torus zu erhalten. Der Knoten ist in diesem Fall ein Kleeblattknoten .

Ich werde dieses Kleidungsstück nennen$S$. Der Beweis, dass ich das weiß$S$kann nicht umgestülpt werden, verwendet einige Ideen aus der niedrigdimensionalen Topologie. Beachten Sie, dass die Stichkurve komprimiert wird (eine Scheibe begrenzt$D$) in die innere Richtung. Wenn du dich umdrehen könntest$S$von innen nach außen dann diese Bewegung von$S$würde auch eine Bewegung der Scheibe geben$D$. Somit schickt die Bewegung die Maschenkurve zu einer gewissen Kurve weiter$S$(immer noch nicht parallel zur Grenze!), die nach außen zusammendrückt . Aber da das Kleeblatt nicht der Knoten ist, gibt es keine solche Bewegung.

Ich kann zumindest die Frage nach dem Riss beantworten und Sie auf einige Begriffe hinweisen, die Sie nachschlagen können. Was Sie betrachten, ist nicht die Geometrie, wie sie normalerweise verstanden wird, sondern die Topologie (insbesondere von Oberflächen mit Rand ), die informell die Untersuchung von Eigenschaften von Dingen ist, die unter Verformung invariant sind. Es wird oft gesagt, dass ein Topologe einen Kaffeebecher nicht von einem Donut unterscheiden kann (es ist möglich, einen in den anderen zu verformen), und das ist die Einstellung, die Sie zu Fragen dieser Art einnehmen sollten.

Aus dieser Perspektive ist ein Riss dasselbe wie die Unterseite des Hemdes dasselbe wie ein Ärmel: Sie können beide ineinander verformen, also sind sie topologisch dasselbe. (Stellen Sie sich vor, den Riss größer zu machen oder einen langen Ärmel in einen kurzen Ärmel zu quetschen.) Sie sind alle nur Beispiele dafür, was Topologen Einstiche nennen.

Ich kenne die Antwort auf Ihre allgemeine Frage nicht, aber eine Oberfläche muss eine Eigenschaft haben, um von innen nach außen gedreht werden zu können, nämlich dass sie orientierbar sein muss ; mit anderen Worten, es muss von vornherein ein Innen und ein Außen haben! Oberflächen wie das Möbiusband haben diese Eigenschaft bekanntermaßen nicht, daher macht es keinen Sinn zu fragen, ob es möglich ist, solche Dinge umzukrempeln oder nicht. (Und einige nicht orientierbare Flächen lassen sich nicht einmal dreidimensional realisieren...)

Orientierbare Flächen haben eine besonders einfache Beschreibung: Sie sind alle topologisch nur Kugeln mit einigen angenähten Griffen und einigen Einstichen. Um sie umzustülpen, ist mindestens ein Einstich notwendig, und wenn Sie einen Griff umstülpen können, können Sie vermutlich alle umstülpen. Wenn das, was ich in den Kommentaren gesagt habe, falsch ist und Sie die Griffe nicht umdrehen können, dann ist eine notwendige und hinreichende Bedingung, dass mindestens ein Loch und keine Griffe vorhanden sind.

Ein Hemd ohne Loch oder alle Löcher versiegelt ist homöomorph zu einer Kugel.

Ein Hemd mit Löchern ist homöomorph zu einer Kugel mit Löchern.

Jetzt sehen Sie intuitiv, dass eine Gummikugel mit Einstichen durch kontinuierliche Bewegung umgekrempelt werden kann, eine perfekte Kugel dagegen nicht.

Um zu verstehen, warum, konzentrieren wir uns auf die zweidimensionale Ebene und nehmen einen Kreis anstelle einer Kugel. Es kann bewiesen werden, dass jede kontinuierliche Verformung, die den Kreis umkehrt, ihn dazu bringt, sich selbst zu kreuzen. Wenn der Kreis jedoch "Löcher" oder Lücken hat, entspricht er topologisch einem oder mehreren Liniensegmenten, die alle an Ort und Stelle umgekehrt werden können, ohne sich zu berühren (eine entsprechende Skalierung kann erforderlich sein).

Ähnliches gilt auch für eine Kugel. Daher können Sie ein Hemd nicht auf links drehen, wenn alle Löcher versiegelt sind, aber Sie können es selbst dann tun, wenn Sie ein Loch haben (und vorausgesetzt, das Hemd ist flexibel genug, um durch dieses Loch zu passen, wenn das Loch klein ist).