Äquivalenzbeziehungen Begründung

In gewisser Weise ist "Äquivalenz" ein unpassendes Wort.

Dinge sind äquivalent, wenn ... wir etwas durch ein anderes ersetzen können und sie sich praktisch gleich verhalten. Eine Äquivalenzbeziehung ist eine Möglichkeit, diese Dinge technisch auszudrücken und austauschbar. Offensichtlich ist etwas mit sich selbst austauschbar (Reflexivität!); Natürlich können Sie zwei Dinge austauschen, es geht in beide Richtungen (Symmetrie!); und wenn Sie mehrere austauschbare Dinge haben, muss jedes Paar austauschbar sein (Transitivität!).

Daher die „Äquivalenzrelation“, die wir alle lieben.

Dies ist eigentlich ein Konzept auf sehr hohem Niveau, obwohl es sich auf sehr niedrigem Niveau anfühlt. Wir möchten sagen, dass Punkte Zahlen entsprechen, die "Dinge", die gleichwertig (oder austauschbar) sind, nicht die einzelnen Punkte mit einzelnen Zahlen sind, sondern dass die "Dinge" Mengen sind .$\mathbb N$ist ein DING (nicht eine Menge von Dingen, sondern ein Ding). Und$Dots =\{some set of dots somehow distinguished\}$ist eine andere Sache. Und diese beiden DINGE sind in einer Äquivalenzbeziehung zwischen SÄTZEN äquivalent.

Also lass$U = \{sets\}$und wir sagen wenn$A \in U$ist eine Menge und$B\in U$ist eine Menge und$R$ist eine Beziehung zwischen Mengen, so dass .... ähm .... also was, was genau ist die Beziehung zwischen$A$Und$B$?

$R$ist die Bedingung,$a R b$Wenn$a$Und$b$sind Mengen und es existiert eine Funktion$h: a \to b$damit ... sie die Grundstruktur behalten.

Okay, ich habe um den heißen Brei herum geredet.

$\mathbb N \in U$Und$\mathbb N$ist ein DING, das die folgenden Eigenschaften hat: Es wird eine Operation aufgerufen$+$und eine Operation namens$\times$und sie sind geschlossene binäre Operationen auf$\mathbb N$.

So$a R b$Wenn$a$haben auch Operationen genannt$+_a$Und$\times_a$Und$b$hat$+_b$Und$\times_b$und es gibt eine Funktion$h: a \to b$so dass für alle zwei$x,y \in a$Dann$h(x+_a y) = h(x)+_b h(y)$Und$h(x\times_a y) = h(x)\times_b h(y)$.

[Beachten Sie, dass dies bedeutet, wenn$a$hat (oder hat nicht) ein Axiom wie Kommutativität oder Assoziativität oder Verteilung oder Identitätselemente oder inverse Elemente als wenn$a R b$Dann$b$müssen genau die gleichen Eigenschaften haben.]

So$Dots R \mathbb N$wenn es eine Funktion gibt$h:\mathbb N \to Dots$so dass$h(a +|\times b) = h(a) +_{dots}|\times_{dots} h(b)$

[Anmerkung: und es muss doch eine Funktion geben$g:Dots\to \mathbb N$. Und das$g(h(n+|\times m))= n+|\times m$. Daher$h$muss eine Bijektion sein. ]

Wie sage ich, dass die Menge {1 Punkt, 2 Punkte, 3 Punkte, ...} den Naturfarben entspricht?

Sie haben Recht, dass dies eine andere Art von Äquivalenz ist. Was Sie suchen, wird in verschiedenen technischen Kontexten oft als "Isomorphismus" bezeichnet. Wie Sie erraten haben, handelt es sich um eine spezifische Funktion von einem Satz zum anderen - eine Umwandlung natürlicher Zahlen in Punkte - auf eine Weise, dass Sie nicht die Struktur verlieren, mit der Sie arbeiten möchten (z. B. können Addition, Subtraktion und Multiplikation durchgeführt werden). auf die Zahlen oder auf die Punkte, und beide geben Ihnen unter dieser Transformationsfunktion die gleiche Antwort).

Es gibt auch allgemeinere Begriffe. Eine "Äquivalenz von Kategorien" ist ein allgemeinerer Begriff: Selbst wenn es keine genaue Eins-zu-Eins-Zuordnung zwischen zwei Sammlungen von Dingen gibt, kann man oft sagen, dass sie auf äquivalente Weise funktionieren.

Ich werde nicht ins Detail gehen, weil die Details sehr technisch sind. Aber ja, diese Vorstellungen existieren.

Wie lässt sich das auf den Alltag übertragen?

Ich glaube nicht, dass ich diese Frage wirklich verstehe. Wenn überhaupt, ist es vielleicht ein Begriff, der dem Alltag entlehnt ist . Aber Sie haben die Idee richtig: Zwei Dinge sind irgendwie funktional gleichwertig, wenn sie auf die gleiche Weise, im gleichen Kontext und für den gleichen Zweck verwendet werden können. Ein Kugelschreiber und ein Bleistift sind in einem allgemeinen Kontext gleichwertig, in dem Sie etwas schreiben müssen. Es gibt auch Situationen, in denen sie nicht gleichwertig sind: wenn Sie einen Scheck unterschreiben oder (um ein dummes Beispiel zu nennen) wenn Sie Ihren glänzenden neuen Anspitzer ausprobieren möchten.

In jedem dieser Kontexte wird Ihr Gehirn nicht von den vielen Hunderten von Milliarden möglicher Schreibgeräte überwältigt, aus denen Sie möglicherweise auswählen könnten, sondern schränkt den Raum möglicher Entscheidungen ein, indem es Ihnen sagt: „Die meisten dieser Dinge sind hier im Grunde gleich“. Das ist genau die Idee, die wir mit Äquivalenzbeziehungen zu formalisieren versuchen.