Beweisen Sie, dass die Vereinigung von Relationen eine Äquivalenzrelation ist

Question

Beweisen Sie, dass die Vereinigung von Relationen eine Äquivalenzrelation ist

Mathematik
Beziehungen
elementare Mengenlehre
Äquivalenzbeziehungen

DreaDk

Lassen $\{\alpha_i \mid i\in \mathbb N\}$ ist eine Familie von Äquivalenzbeziehungen auf der Menge $A$ so dass für jeden $i \in N$ $\alpha_i\subseteq\alpha_{i+1}$ . Beweisen Sie, dass die Vereinigung aller $\alpha_i$ ist Äquivalenzrelation an $A$ .

Wenn es Probleme mit der Familie von Verwandten gibt, bin ich ahnungslos. Ich weiß, dass wir offensichtlich Reflexivität, Symmetrie und Transitivität beweisen müssen, aber ansonsten kann ich nicht einmal anfangen.

Stefan Mesken

Das hast du wohl ganz vergessen zu erwähnen

α_{i}

$\alpha_i$ sind Äquivalenzrelationen. (Ansonsten gibt es triviale Gegenbeispiele.)

DreaDk

Ich dachte auch, dass sie sein sollen. Aber nirgendwo in der Frage wird angegeben, dass es sich auch um Äquivalenzrelationen handelt. Deshalb war ich größtenteils ahnungslos, wie ich anfangen sollte (es ist eine alte Prüfungsfrage).

Stefan Mesken

Nun, das muss ein Fehler sein. Bevor Sie sich meinen Hinweis ansehen: Können Sie dies unter der Annahme beweisen, dass alle

α_{i}

$\alpha_i$ sind Äquivalenzbeziehungen?

Stefan Mesken

Ich habe auch die Formatierung deines Beitrags korrigiert. Für die Zukunft gibt es hier ein MathJax-Tutorial.

DreaDk

Einiges davon könnte ich vielleicht beweisen. Aber die ganze Idee der Familie von Mengen / Beziehungen ist für mich etwas verwirrend (hauptsächlich, weil ich ihr nicht oft begegnet bin).

William Elliot

@StefanMesken. Warum haben Sie den Fehler in der Problembeschreibung nicht behoben?

Stefan Mesken

@WilliamElliot Weil meine Richtlinie bei der Bearbeitung ausländischer Beiträge darin besteht, die Bedeutung eines Beitrags nicht zu ändern. Das überlasse ich OP.

Stefan Mesken

@WilliamElliot Beachten Sie auch, dass es in diesem Fall mehrere praktikable Möglichkeiten gibt, die angegebene Übung OP zu korrigieren. Zum Beispiel reicht es für die

α_{i}

$\alpha_i$ Äquivalenzrelationen auf einer Teilmenge von sein

A

$A$ so dass

dom (⋃_{i \in N} α_{i}) = A

$\operatorname{dom} \left( \bigcup_{i \in \mathbb N} \alpha_i \right) = A$ . Noch schwächere Anforderungen implizieren immer noch, dass ihre Vereinigung eine Äquivalenzrelation ist. Soweit es mich betrifft, gibt es also keine eindeutig „korrekte“ Bearbeitung, es sei denn, OP liefert weitere Informationen.

Antworten (1)

Beweisen Sie, dass die Vereinigung von Relationen eine Äquivalenzrelation ist

Das hast du wohl ganz vergessen zu erwähnen $\alpha_i$ sind Äquivalenzrelationen. (Ansonsten gibt es triviale Gegenbeispiele.)
Ich dachte auch, dass sie sein sollen. Aber nirgendwo in der Frage wird angegeben, dass es sich auch um Äquivalenzrelationen handelt. Deshalb war ich größtenteils ahnungslos, wie ich anfangen sollte (es ist eine alte Prüfungsfrage).
Nun, das muss ein Fehler sein. Bevor Sie sich meinen Hinweis ansehen: Können Sie dies unter der Annahme beweisen, dass alle $\alpha_i$ sind Äquivalenzbeziehungen?
Ich habe auch die Formatierung deines Beitrags korrigiert. Für die Zukunft gibt es hier ein MathJax-Tutorial.
Einiges davon könnte ich vielleicht beweisen. Aber die ganze Idee der Familie von Mengen / Beziehungen ist für mich etwas verwirrend (hauptsächlich, weil ich ihr nicht oft begegnet bin).
@StefanMesken. Warum haben Sie den Fehler in der Problembeschreibung nicht behoben?
@WilliamElliot Weil meine Richtlinie bei der Bearbeitung ausländischer Beiträge darin besteht, die Bedeutung eines Beitrags nicht zu ändern. Das überlasse ich OP.
@WilliamElliot Beachten Sie auch, dass es in diesem Fall mehrere praktikable Möglichkeiten gibt, die angegebene Übung OP zu korrigieren. Zum Beispiel reicht es für die $\alpha_i$ Äquivalenzrelationen auf einer Teilmenge von sein $A$ so dass $\operatorname{dom} \left( \bigcup_{i \in \mathbb N} \alpha_i \right) = A$ . Noch schwächere Anforderungen implizieren immer noch, dass ihre Vereinigung eine Äquivalenzrelation ist. Soweit es mich betrifft, gibt es also keine eindeutig „korrekte“ Bearbeitung, es sei denn, OP liefert weitere Informationen.

Stefan Mesken · Answer 1

Der Beweis ist wirklich einfach und eine dieser Übungen, bei denen Sie sicherstellen, dass Sie die Definition verstehen. Ich bringe Sie zum Laufen und dann holen Sie es von dort ab:

Lassen Sie uns das beweisen $\alpha := \bigcup \{ \alpha_i \mid i \in \mathbb N \}$ ist transitiv - Reflexivität und Symmetrie sind noch einfacher:

Lassen $x,y,z \in A$ so dass $(x,y) \in \alpha$ Und $(y,z) \in \alpha$ . Dann gibt es nach der Definition von $\alpha$ , $i,j \in \mathbb N$ so dass $(x,y) \in \alpha_{i}$ Und $(y,z) \in \alpha_j$ . Lassen $k = \max\{i,j\}$ . Dann $\alpha_i, \alpha_j \subseteq \alpha_k \subseteq \alpha$ und somit $(x,y),(y,z) \in \alpha_k$ .

Jetzt nutzen wir die Tatsache, dass $\alpha_k$ ist eine Äquivalenzrelation, um darauf zu schließen $(x,z) \in \alpha_k$ . Seit $\alpha_k \subseteq \alpha$ , es folgt dem $(x,z) \in \alpha$ und damit das $\alpha$ ist transitiv.

Beweisen Sie, dass die Vereinigung von Relationen eine Äquivalenzrelation ist

DreaDk

Stefan Mesken

DreaDk

Stefan Mesken

Stefan Mesken

DreaDk

William Elliot

Stefan Mesken

Stefan Mesken

Antworten (1)

Stefan Mesken

Ein einfacher konzeptioneller Zweifel in Bezug auf Mengen und Beziehungen

Arbeiten mit Äquivalenzklassen und Quotientenmengen

Äquivalenzbeziehungen beweisen, Operationen auf Äquivalenzklassen konstruieren und definieren

Gegeben ist die Beziehung RRR. Erstellen Sie einen Digraphen für die Äquivalenzrelation

Isomorphe Äquivalenzbeziehungen und Partitionen

Äquivalenzbeziehungen, Zählen von Äquivalenzklassen zwischen Mengen

Kommutative Relationenpaare definieren keine Äquivalenzrelation

Nachweis der Äquivalenzklassen

Was ist die richtige Art, über Quotientenmengen und Äquivalenzbeziehungen nachzudenken?

Äquivalenzbeziehungen Begründung