Nachweis der Äquivalenzklassen

Sie haben den Beweis im Grunde schon gegeben, also lassen Sie ihn uns in einen präzisen mathematischen Beweis umwandeln.

Zu zeigen, dass$|A / \sim | = |B|$, müssen wir eine Bijektion konstruieren$g: A / \sim \to B$. Sie haben uns bereits gesagt, wie man diese Bijektion konstruiert: let$[a]$sei die Äquivalenzklasse von einigen$a \in A$, dann legen wir fest$g([a]) = f(a)$. Wir müssen jetzt ein paar Dinge überprüfen.

Gut definiert. Die Funktion$g$ist in der Tat wohldefiniert. Das heißt, es kommt nicht auf den Vertreter der Äquivalenzklasse an. Also wenn$a \sim a'$, dann bedeutet das per definitionem das$f(a) = f(a')$so in der Tat der Wert von$g$ist wohldefiniert.

Injektiv. Nehme an, dass$g([a]) = g([a'])$, So$f(a) = f(a')$. Dann per Definition$a \sim a'$, So$[a] = [a']$Und$g$ist tatsächlich injektiv.

Surjektiv. Lassen$b \in B$, dann weil$f$ist surjektiv es ist$a \in A$so dass$f(a) = b$. So$g([a]) = f(a) = b$, und in der Tat$g$ist surjektiv.

Insgesamt haben wir eine Bijektion$A / \sim \to B$, So$|A / \sim| = |B|$.

Die Karte$b\mapsto[b]:=\{a\in A: f(a)=b\}$definiert eine Surjektion von$B$Zu$A/\sim$Weil$[f(a)]$ist genau die Äquivalenzklasse$\sim a$von$a$unter$\sim$. Endlich,$b\mapsto[b]$ist eine Injektion, weil