Arbeiten mit Äquivalenzklassen und Quotientenmengen

Ich habe Zweifel an der Arbeit mit Äquivalenzklassen und Quotientenmengen. Die mir bekannte Definition ist die einer Äquivalenzrelation$\sim$auf einem Satz$A$, die Menge aller Elemente von$A$Äquivalent zu einem bestimmten Element$x$ist der Satz$\left[x\right]\subset A$die Äquivalenzklasse von genannt wird$x$. Die Menge aller Äquivalenzklassen ist dann die Menge$A/\sim$Quotientenmenge genannt.

Nun, ich verstehe das. Ich bin jedoch etwas verwirrt, wenn ich damit arbeite, weil das Set$A/\sim$ist ein Satz von Sätzen richtig? Also wenn$x \in A/\sim$,$x$ist kein Element von$A$sondern eine ganze Sammlung solcher Elemente. Es gibt jedoch Texte, an die der Autor anscheinend denkt$x \in A/\sim$als gerecht und Element von$A$.

Zum Beispiel: Im Zusammenhang mit Mannigfaltigkeiten, wenn man Tangentenvektoren als Äquivalenzklassen von Kurven definiert, stellt man sich ein Element des Tangentenraums nicht als eine Menge von Kurven vor. Oder im Kontext der multilinearen Algebra definieren wir das Tensorprodukt von Vektorräumen unter Verwendung eines Quotienten, aber wir stellen uns die Elemente nicht als Mengen von Vektoren vor.

Ich habe gehört, dass „wir an ein Element denken$x \in A/\sim$als ein der Relation unterworfenes Element$\sim$“, denken wir jedoch an$x$bezogen auf welches Element von$A$? Ich habe wirklich nicht verstanden, wie wir über Äquivalenzklassen und Quotientenmengen arbeiten / nachdenken sollten.

Vielen Dank im Voraus für Ihre Hilfe und entschuldigen Sie, wenn die Frage zu dumm ist.