Äquivalenzbeziehungen, Zählen von Äquivalenzklassen zwischen Mengen

(a) Beachten Sie, dass jede Äquivalenzklasse a hat$1\text{-}1$Mapping mit dem Set$\{0,1,2,3,4,5\}$, über die Zuordnung$f([A]) = \left| A\cup T\right|$. Somit gibt es insgesamt 6 Äquivalenzklassen.

(b) Ein Satz$U$gehört$[\{\emptyset\}]$dann und nur dann, wenn$|U\cap T|=\emptyset$. Das heißt, jede Teilmenge von$\{6,7,8,9\}$Wird besorgt. Es gibt insgesamt$2^4=16$solche Sätze.

(c) Unter Verwendung fast der gleichen Begründung wie in (b) sehen wir, dass es insgesamt gibt$2^4=16$solche Mengen, da die Teilmengen sind$T\cup U$, Wo$U\subseteq \{6,7,8,9\}.$

(d) Wie in (c) wählen wir eine Teilmenge von aus$\{6,7,8,9\}$, und nehmen Sie seine Vereinigung mit einer Teilmenge von$T$, Größe$2$. Die Antwort lautet also$16\cdot\binom{5}{2}=160$.

In der Tat, dies$\def\R{\mathscr R} \R$ist eine Äquivalenzrelation auf$P(S)$.
Es unterscheidet sich jedoch von dem, durch das Sie es ersetzt haben.

Hinweise:

(a) Es gibt 6 Äquivalenzklassen, weil$|X\cap T|$kann 6 verschiedene Werte haben.
(B)$Y\R \emptyset\ \iff\ Y\cap T=\emptyset\ \iff\ Y\subseteq\{6,7,8,9\}$
(C)$Y\R T\ \iff\ Y\supseteq T$; in diesem Fall$Y$kann als beliebige Menge geschrieben werden$\subseteq\{6,7,8,9\}$Plus$T$.
(D)$Y\R\{1,2\}\ \iff\ |Y\cap T|=2$, also die Anzahl solcher Mengen$Y$Ist$\,\binom52\cdot 2^4$.

"XRRY wenn |X| = |Y|" ist falsch.

(a) seitdem gibt es 6 Äquivalenzklassen$|X|\cap T\in\{0,\dots,5 \}$für jeden Satz$X \in P(S)$und jeder Fall tritt auf.

(b) Alle Elemente in$[\emptyset]$entweder 6,7,8,9 enthalten oder nicht. Es gibt sie also$2^4=16$viele.

(c) 16 (zur Begründung siehe (b))

(D)$16\cdot\binom{5}{2} =160$