Eindeutiges u∧vu∧vu\wedge v, so dass (u∧v)⋅w=∣∣∣∣∣u1v1w1u2v2w2u3v3w3∣∣∣∣∣(u∧v)⋅w=|u1u2u3v1v2v3w1w2w3|(u\wedge v)\cdot w = \small\begin{vmatrix} u_1&u_2&u_3 \\ v_1&v_2&v_3 \\ w_1&w_2&w_3 \end{vmatrix} für alle w∈R3w∈ℝ3w\inℝ^3

Für jeden endlichdimensionalen reellen Vektorraum$V$, Wenn$g$ist ein inneres Produkt auf$V$(dh$g:V\times V\to\Bbb{R}$, ist bilinear, symmetrisch und positiv definit), dann erhalten wir eine induzierte lineare Abbildung$g^{\flat}:V\to V^*$(gelesen als 'gee-flat'), und die Definition ist

$$\begin{align} g^{\flat}(v):=g(v,\cdot). \end{align}$$ Die Bedeutung ist die$g$ist eine Funktion zweier Variablen, die Werte annehmen$\Bbb{R}$, was wir also tun können, ist, einen der Einträge auszufüllen, um zu erhalten$g(v,\cdot)$, und dies kann einen anderen Vektor fressen$w$eine reelle Zahl produzieren, also$g^{\flat}(v)=g(v,\cdot)\in V^*$.

Nun die Kartierung$g^{\flat}$ist injektiv, denn wenn$v\in \ker(g^{\flat})$, dann heißt es$g^{\flat}(v):=g(v,\cdot)=0$, was explizit für alle bedeutet$w\in V$,$g(v,w)=0$. Also insbesondere$g(v,v)=0$, daher durch positive Bestimmtheit,$v=0$. Deshalb,$\ker(g^{\flat})=\{0\}$, also haben wir eine Injektion. Denken Sie daran, dass auf einem endlichdimensionalen Raum$V$Und$V^*$die gleiche Dimension haben, also ist eine Injektion automatisch ein Isomorphismus. Die inverse Abbildung$(g^{\flat})^{-1}:V^*\to V$wird typischerweise bezeichnet$g^{\sharp}:V^*\to V$.

Wir werden diese Logik im konkreten Fall anwenden$V=\Bbb{R}^3$Und$g(x,y)=\sum_{i=1}^3x_iy_i$das Standard-Innenprodukt ist. Wir haben also einen Isomorphismus$g^{\flat}:\Bbb{R}^3\to(\Bbb{R}^3)^*$. Nun ist die Definition des Kreuzprodukts gegeben$u,v\in\Bbb{R}^3$, erinnern wir uns, dass die Determinante eine multilineare Funktion der Zeilen/Spalten ist, also die Funktion$\det(u,v,\cdot):\Bbb{R}^3\to\Bbb{R}$ist linear. Das heisst$\det(u,v,\cdot)\in (\Bbb{R}^3)^*$. Somit ist die Definition des Kreuzprodukts

$$\begin{align} u\times v&=g^{\sharp}\bigg(\det(u,v,\cdot)\bigg)\in \Bbb{R}^3 \end{align}$$

Es ist also die Tatsache, dass$\Bbb{R}^3\cong (\Bbb{R}^3)^*$über das Skalarprodukt, wodurch sich das Kreuzprodukt auf diese Weise definieren lässt.

Wie auch immer, wenn Sie nur wissen wollen, wie man das Kreuzprodukt berechnet, dann erinnern Sie sich im Allgemeinen daran, wenn ein beliebiger Vektor gegeben ist$\xi\in \Bbb{R}^3$, können wir jede orthonormale Basis nehmen, zum Beispiel die Standardbasis$\{e_1,e_2, e_3\}$, und schreibe$\xi=g(\xi,e_1)e_1+g(\xi,e_2)e_2+g(\xi,e_3)e_3$(dh den Vektor in die Basis punktieren, um die Projektionen auf die Achse zu erhalten, und dann mit dem Einheitsvektor multiplizieren).

Für das Kreuzprodukt können wir also dasselbe tun:

$$\begin{align} u\times v&=\det(u,v,e_1)\cdot e_1+\det(u,v,e_2)\cdot e_2 + \det(u,v,e_3)\cdot e_3 \end{align}$$ Sie haben dies vielleicht mnemonisch zusammengefasst als gesehen $$\begin{align} u\times v&= \det \begin{pmatrix} u_1&u_2&u_3\\ v_1&v_2&v_3\\ \hat{x}&\hat{y}&\hat{z} \end{pmatrix} \end{align}$$

Eine Möglichkeit, diese Definition zu verstehen, besteht darin, die Komponenten des Kreuzprodukts kompakt anzugeben. Beispielsweise sollte die Formel für den Fall gelten$w=e_1$. Dann verlangt die Definition

$$(u\wedge v)\cdot e_1 = \begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}.$$ Aber$(u\wedge v)\cdot e_1$ist der$1$st. Komponente von$u\wedge v$, also haben wir die erste Komponente des Kreuzprodukts bestimmt. Nehmen$w=e_2,e_3$ergibt die anderen beiden. (Und das ist sicherlich einzigartig: Once$u,v$angegeben wurden, dann auch die Komponenten von$u\wedge v$.)