Ganz einfach - Volumen von Parallelepiped

Ich versuche zu verstehen, warum das Volumen eines Parallelepipeds dessen Seiten sind S , u , w Ist v = S ⋅ ( u × w ) .

Auch die Maßeinheiten stimmen nicht. Die Länge der Vektoren S , u , w wird in Zentimetern gemessen, das Volumen wird in Kubikzentimetern gemessen.

u × w ist ein Vektor. Es ist ein Vektor, der orthogonal zu ist u Und w , aber immer noch ein Vektor, also wird seine Länge wieder in cm gemessen. Insgesamt also v = S ⋅ ( u × w ) bedeutet, dass v gleich dem Produkt von ist 2 Vektoren, also die Maßeinheit für v ist Quadratzentimeter, nicht gewürfelt.

Ich habe Mühe zu verstehen, wie kann | u × w | gleich der Fläche eines Parallelogramms sein. Das ist gleichbedeutend mit der Aussage: "Die Zeit, die ich brauche, um ein Problem zu lösen, ist die Entfernung zwischen New York und London."

Einfach verifizieren S ⋅ u × v = det ( S , u , v ) .

Antworten (3)

Die Norm des Vektors u × v ist definiert als die Fläche des Parallelogramms (scrollen Sie nach unten zur geometrischen Definition unter Das Kreuzprodukt, wenn Sie auf diesen Link klicken) mit Seiten u Und v . Auch als beides u Und v Einheiten von cm haben, wird ihr Produkt Einheiten von cm haben 2 - Unabhängig davon, dass u × v ist ein Vektor. Vektoren müssen keine Längeneinheiten haben – sie können beliebige Einheiten haben.

Also wenn “ u × v “ die Fläche eines Parallelogramms ist, dann ist die Fläche des Parallelepipeds einfach diese Fläche multipliziert mit der Höhe des Parallelepipeds ("Basis mal Höhe" ist die Formel, die wir hier verwenden). Weil “ S “ cos ⁡ ( θ ) ist die Höhe des Parallelepipeds (zeichne ein Bild, um dies selbst zu bestätigen), das Volumen wird nur sein “ S “ cos ⁡ ( θ ) “ u × v “ = “ S “ “ u × v “ cos ⁡ ( θ ) . Aber das ist nur das Skalarprodukt von S Und u × v .

Es tut mir leid, aber Sie haben mich bei "Länge von" verloren u × w ist gleich der Fläche des Parallelogramms". Ich verstehe, dass es stimmt, da jeder es sagt, aber es ergibt für mich keinen Sinn. Die Einheiten addieren sich nicht. Wie kann die Länge gleich der Fläche sein? Das sind 2 völlig verschiedene Dinge.
Übrigens war die Antwort, die du geschrieben hast, verrückt :)
Mathematiker machen sich nicht allzu viele Gedanken über Einheiten. Aber wenn wir sie in diesem Fall einbeziehen, bedeutet die Tatsache, dass ein Vektor als "orientierte Länge" angesehen werden kann, nicht, dass er notwendigerweise Längeneinheiten hat. Das ist wirklich seltsam, ich weiß, aber Sie müssen sich einfach von der Vorstellung trennen, dass Vektoren immer Längeneinheiten haben. Die Länge eines Vektors, der die Zeiten beschreibt, zu denen verschiedene Personen ein Rennen beendet haben, kann Einheiten von Sekunden haben. A 5 - Zahlentupel, das das Volumen der Häuser beschreibt, die ein Auftragnehmer zu bauen plant, kann Einheiten von ft haben 3 . Vektoren können beliebige Einheiten haben.
In diesem Fall kann es hilfreich sein, dies zu beachten “ u × v “ = “ u “ “ v “ Sünde ⁡ ( θ ) . “ u “ Und “ v “ haben Einheiten von cm, weil u Und v haben Einheiten von cm. Und Sünde ⁡ ( θ ) ist einheitenlos (das ist immer wahr – die Sinusfunktionen sind immer einheitenlos). So “ u × v “ muss Einheiten von cm haben 2 (wenn diese Mengen wirklich gleich sind – und das sind sie).

Ich denke, das offensichtliche Paradoxon in dieser Frage ergibt sich aus dem Irrglauben, dass ein Vektor zugehörige Längeneinheiten hat. Das ist falsch. Im dreidimensionalen Raum der Vektor ( 1 , 2 , 3 ) Man könnte sich vorstellen, dass Einheiten von geordneten Dreifachen von Zentimetern vorhanden sind (nicht dasselbe wie Zentimeter in Würfel). Wir könnten die Koordinaten auch Zentimeter, Sekunden, Liter haben, aber es ist immer noch ein geordnetes Tripel.

Nun, die Länge eines Vektors | ( 1 , 2 , 3 ) | = 1 2 + 2 2 + 3 2 ist zwar in Zentimetern, weil jeder von 1 , 2 , 3 ist in Zentimetern, also wenn das Quadrat in Quadratzentimetern ist, und dann hat die Summe die Quadratwurzel angewendet, was uns zurück zu Zentimetern bringt.

Wenn die Einheiten Zentimeter, Sekunden, Liter wären, dann hat die Länge des Vektors keine sinnvollen Einheiten mehr.

Das Kreuzprodukt hat Flächendimensionen | A | ⋅ | B | Sünde ⁡ θ . Nur weil es ein Vektor ist, muss es nicht immer eine Gerade sein. Wir sagen, eine Fläche ist gerichtete Menge. Eine Fläche oder sogar ein Volumen kann ein Vektor sein.

Wie akzeptieren wir Winkel, Winkelgeschwindigkeiten, Winkelbeschleunigungen als Vektoren? Kräfte als Vektoren? Strom und Spannung als Vektoren? Jeder hat eine physikalische Größe und Richtung.

Das Tripelprodukt ist ein Skalar ohne Richtung.

Die Volumendimension eines Parallelepipeds ist 2+1 = 3.

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