Skalierung des Lebesgue-Maß unter einer linearen Transformation und dem Volumen eines Parallelepipeds.

$\def\vect{\mathbf} \def\diag{{\rm{diag}}} \def\R{\mathbb R} \def\vol{{\rm vol}} \def\sign{{\rm sign}}$

Es sind zwei Ideen beteiligt: ​​Eine ist, dass die Eindeutigkeit des Lebesgue-Maß als translationsinvariantes Borel-Maß Skalierungsinvarianz unter linearen Transformationen und insbesondere absolute Invarianz unter orthogonalen Transformationen impliziert. Die andere ist die eine oder andere multiplikative Zerlegung einer linearen Transformation. Ich werde die Singularwertzerlegung verwenden.

Satz. Lebesgue-Maß$\lambda$An$\mathbb R^n$ist das eindeutige Borel-Maß, das translationsinvariant und lokal endlich ist (dh das Maß kompakter Mengen ist endlich), bis auf die Skalierung durch eine positive Konstante.

Dies ist enthalten in Rudin, Real and Complex Analysis, 3rd edition, Theorem 2.20.

Logische Folge

1. Wenn$T$ist eine umkehrbare lineare Transformation von$\mathbb R^n$, dann gibt es eine positive Konstante$c_T$so dass für alle Borel-Sets$E$,$\lambda(T(E)) = c_T\ \lambda(E)$.

2. WENN$S$,$T$sind invertierbare lineare Transformationen$c_{ST} = c_S c_T$

3. Wenn$U$ist dann eine orthogonale lineare Transformation$c_U = 1$.

Nachweisen. Beachten Sie für (1) Folgendes$E \mapsto \lambda(T(E))$ist ein translationsinvariantes, lokal endliches Borel-Maß. Teil (2) ist offensichtlich. Für Teil (3) genügt es, ein Borel-Set zu finden$S$so dass$0 < \lambda(S) < \infty$Und$U(S) = S$. Aber$S = \{x : ||x|| \le 1\}$Wird besorgt.

Somit ist das Lebesgue-Maß sowohl unter orthogonalen Transformationen als auch unter Übersetzungen unveränderlich.

Lemma (Singulärwertzerlegung) Für jede invertierbare Matrix$A$, gibt es zwei orthogonale Matrizen$W$,$V$und eine Diagonalmatrix$D = \diag(a_1, \dots, a_n)$, mit$a_i >0$, so dass$A = W D V$.

Bemerkung: Man kann dies leicht aus der polaren Zerlegung ableiten und umgekehrt.

Korollar für jede invertierbare$A$,$c_A = |\det(A)|$.

Nachweisen. Schreiben$A = W D V$, wie im Lemma, mit$D = \diag(a_1, \dots, a_n)$. Dann$|\det(A)| = \prod_i a_i$. Andererseits,$c_A = c_W c_D c_V = c_D$. Seit$D$angewandt ist die Einheit Hyperwürfel ein rechteckiger Körper mit Kantenlängen$a_1, \dots, a_n$, es folgt dem$c_A = c_D = \prod a_i = |\det(A)|$.

Lemma. Das Lebesgue-Maß einer affinen Hyperebene ist Null.

Nachweisen. Es genügt, die Koordinatenhyperebene senkrecht zu zu betrachten$\vect e_n$, unter Verwendung von Translation und orthogonaler Invarianz. Außerdem genügt es zu zeigen, dass das Maß jeder beschränkten Teilmenge$K$dieser Koordinatenhyperebene ist Null. Aber$K$ist in einem rechteckigen Körper von beliebig kleiner Größe enthalten.

Logische Folge. Lassen$v_1, \dots, v_n$gegeben und überlassen werden$P$Sei das Parallelepiped, das von überspannt wird$v_1, \dots, v_n$. Dann$\lambda(P) = |\det(v_1, \dots, v_n)|$. Darüber hinaus ist das unterzeichnete Volumen von$P$Ist$\det(v_1, \dots, v_n)$

Nachweisen. Wenn die$v_i$sind dann dann linear abhängig$P$hat seitdem Maß Null$P$in einer echten Hyperebene enthalten ist und die Determinante ebenfalls Null ist. Ansonsten lassen$A$die Matrix sein$(v_1, \dots, v_n)$. Dann$P$ist das Bild des Einheits-Hyperwürfels darunter$A$, So$\lambda(P) = c_A = |\det(A)|$. Die letzte Aussage folgt aus der Definition des signierten Volumens, nämlich

Anmerkung: Gelegentlich sieht man eine Erklärung für die Skalierung des Lebesgue-Maß oder für die Formel für das Lebesgue-Maß eines Parallelepipeds, die die Änderung der Variablenformel für die Integration aufruft. Diese Erklärungen sind jedoch zirkulär, da die konzeptionelle Grundlage für die Änderung der Variablenformel die lokale Skalierung des Lebesgue-Maß ist, die von der globalen Skalierung des Lebesgue-Maß unter einer linearen Transformation abhängt.