Was ist das 3D-Volumen von drei Vektoren im nnn-dimensionalen Raum?

Wir haben drei linear unabhängige Vektoren v 1 = ( v 11 , . . . , v 1 N ) , v 2 = ( v 21 , . . . , v 2 N ) , v 3 = ( v 31 , . . . , v 3 N ) . Wir wollen das 3D-Volumen des Parallelepipeds aus diesen drei Vektoren berechnen.

Ich weiß, ob wir es getan hätten N Vektoren, dann die N -d Volumen dieser Vektoren ist | D e T [ v 1 , . . . , v N ] | .

Aber das haben wir nicht D e T von a 3 × N Matrix.

Im Allgemeinen, wie man rechnet M -d Lautstärke von M linear unabhängige Vektoren in N -d Leerzeichen wo ( M < N ) ?

Wenn A ist dein 3 × N Matrix, dann glaube ich, dass die Antwort sein wird det ( A A T ) . Ich erinnere mich jedoch nicht an die Begründung dafür.
Ein Anfangspunkt ist, dass sich Ihre Vektoren überspannen, da Sie 3 linear unabhängige Vektoren haben R 3 . Wenn Sie also eine Grundlage schaffen können R 3 mit Ihren aktuellen Vektoren, dann haben Sie Ihre gewünschte 3-mal-3-Matrix.

Antworten (2)

Finden Sie eine orthonormale Basis für R N so dass die erste 3 Vektoren sind eine Grundlage für Spanne ( v 1 , v 2 , v 3 ) . Schreiben Sie dann Ihre Vektoren in Bezug auf diese orthonormale Basis und beachten Sie, dass die letzte N − 3 Alle Koordinaten sind Nullen, sodass sie nur als Vektoren mit betrachtet werden können 3 Koordinaten. Dann funktioniert Ihre Determinantenformel.

Also, wenn ich v1 , v2 , v3 in drei orthogonale Vektoren (mit Gram-Schmidt) ändere und dann v1 , v2 , v3 in Bezug auf neue Vektoren finde, kann ich das Volumen bekommen, ja?
@amirna Ja, obwohl Omnomnomnom eine viel raffiniertere Lösung hat, für die eigentlich keine Grundlage gefunden werden muss.

Behauptung: Wenn A ist ein M × N Matrix mit M < N , dann das Volumen, das von den Zeilen von überspannt wird A wird sein det ( A A T ) .

Beweis: Per Argument von kccu (oder wenn Sie es vorziehen, mit a Q R Zerlegung), gibt es eine orthogonale Matrix U so dass

A U = ( B 0 )
Wo B Ist M × M . Dafür B , | det ( B ) | ist das Volumen, das wir wollen.

Andererseits haben wir

| det ( B ) | = det ( B B T ) = det [ ( A U ) ( A U ) T ] = det [ A U U T A T ] = det ( A A T )
wie gewünscht.

Mit der Cauchy-Binet-Formel könnten wir dies berechnen als

det ( A A T ) = ∑ S ⊂ { 1 , … , N } det ( A S ) 2
Wo A S bezeichnet die M × M Matrix, deren Spalten die sind ich te Spalte von A für alle ich ∈ S .

Was ist das 3D-Volumen von drei Vektoren im nnn-dimensionalen Raum?
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