Verwenden Sie Zeilenreduktionen, um det(T)=0det(T)=0det(T)=0 anzuzeigen

Question

Verwenden Sie Zeilenreduktionen, um det(T)=0det(T)=0det(T)=0 anzuzeigen

Matrizen
bestimmend
Mathematik
Lineare Algebra

Muhammad Schamil Umar

Verwenden Sie Zeilenoperationen, um dies zu zeigen $det(T)=0$ , Wo

T = [\begin{matrix} X^{2} & 2 X + 1 & 4 X + 4 & 6 X + 9 \\ j^{2} & 2 j + 1 & 4 j + 4 & 6 j + 9 \\ z^{2} & 2 z + 1 & 4 z + 4 & 6 z + 9 \\ w^{2} & 2 w + 1 & 4 w + 4 & 6 w + 9 \end{matrix}]

$T = \begin{bmatrix} x^2 & 2x+1 & 4x+4 & 6x+9\\ y^2 & 2y+1 & 4y+4 & 6y+9\\ z^2 & 2z+1 & 4z+4 & 6z+9\\ w^2 & 2w+1 & 4w+4 & 6w+9 \end{bmatrix}$ Ich werde gebeten, Zeilenoperationen zu verwenden, um zu zeigen, dass die Determinante gleich 0 ist. Ich sehe nicht, wie das möglich ist, weil Sie keine Zeile mit einer anderen Zeile subtrahieren können, da jede Zeile unterschiedliche Variablen hat. Bitte jemand führt mich.

Prometheus

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Doktorand · Answer 1

Wenn $c_i$ steht für die i-te Spalte, beachten Sie das einfach $3\cdot c_3 - 3\cdot c_2 = c_4$ . Wenn eine Matrix linear abhängige Spalten oder Zeilen hat, ist ihre Determinante Null.

Sie können die Antwort von @Andreas Caranti zur reinen Erklärung mit Zeilenoperationen verwenden. Allerdings, wenn Sie das verwenden $det(A)=det(A^T)$ , jede Spaltenoperation für $A$ wird zu einer Zeilenoperation für $A^T$ .

Andreas Karanti · Answer 2

@phdstudent hat Ihnen gezeigt, wie es mit Spaltenoperationen geht .

Wenn Sie es mit Zeilenoperationen tun müssen , ersetzen Sie die $i$ -te Zeile mit der Differenz zwischen der $i$ -te Reihe und die ( $i+1$ )-te Reihe, (unter $i + 1 = 1$ Wenn $i = 4$ ) zu bekommen

det (T) = (X - j) \cdot (j - z) \cdot (z - w) \cdot (w - X) \cdot det ([\begin{matrix} X + j & 2 & 4 & 6 \\ j + z & 2 & 4 & 6 \\ z + w & 2 & 4 & 6 \\ w + X & 2 & 4 & 6 \end{matrix}]) .

$\det(T) = (x - y) \cdot (y - z) \cdot (z - w) \cdot(w - x) \cdot \det \left(\begin{bmatrix} x + y & 2 & 4 & 6\\ y + z & 2 & 4 & 6\\ z + w & 2 & 4 & 6\\ w + x & 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}\right).$ Die letzten drei Spalten der neuen Matrix sind nun eindeutig paarweise abhängig. Aber wenn Sie alles zeilenweise machen müssen, beachten Sie, dass in der neuen Matrix die Summe der geraden Zeilen gleich der Summe der ungeraden ist, die Zeilen also voneinander abhängig sind und die Determinante null ist. Oder führen Sie, wenn Sie es vorziehen, eine Laplace-Entwicklung in Bezug auf die erste Spalte durch.

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Muhammad Schamil Umar

Prometheus

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Andreas Karanti

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