Die Definition der Determinante im Geiste der Algebra und Geometrie

Das scheint ziemlich undurchsichtig: Es ist eine Art, eine Größe zu berechnen, anstatt zu sagen, was genau es ist oder sie sogar zu motivieren. Es lässt auch die Frage völlig offen, warum eine solche Funktion existiert und wohldefiniert ist. Die von Ihnen angegebenen Eigenschaften sind ausreichend, wenn Sie versuchen, eine Matrix in obere Dreiecksform zu bringen, aber was ist mit anderen Berechnungen? Es gibt auch keine Rechtfertigung für eine der wichtigsten Eigenschaften der Determinante, nämlich$\det(ab) = \det a \det b$.

Ich denke, der beste Weg, die Determinante zu definieren, ist die Einführung des Keilprodukts$\Lambda^* V$eines endlichdimensionalen Raumes$V$. Angesichts dessen, jede Karte$f:V \to V$veranlasst eine Karte$\bar{f}:\Lambda^n V \to \Lambda^n V$, Wo$n = \dim V$. Aber$\Lambda^n V$ist ein$1$-dimensionaler Raum, also$\bar{f}$ist nur eine Multiplikation mit einem Skalar (unabhängig von der Wahl der Basis); dieser Skalar ist per Definition exakt$\det f$. Dann erhalten wir zum Beispiel die Bedingung that$\det f\not = 0$iff$f$ist ein kostenloser Isomorphismus: Für eine Basis$v_1, \dots, v_n$von$V$, wir haben$\det f\not = 0$iff$f(v_1\wedge \cdots \wedge v_n) = f(v_1) \wedge \cdots \wedge f(v_n) \not = 0$; das heißt, wenn die$f(v_i)$sind linear unabhängig. Außerdem seit$h = fg$hat$\bar{h} = \bar{f}\bar{g}$, wir haben$\det(fg) = \det f \det g$. Die anderen Eigenschaften folgen ähnlich. Es erfordert ein bisschen mehr Raffinesse, als normalerweise in einem linearen Algebra-Kurs angenommen wird, aber es ist die erste Konstruktion von$\det$Ich habe gesehen, dass das motiviert und transparent erklärt ist, was sonst eine Liste willkürlicher Eigenschaften ist.

Die Art und Weise, wie ich meinen Schülern Determinanten beibringe, ist, mit dem Fall zu beginnen$n=2$, und die komplexen Zahlen und/oder die Trigonometrie zu verwenden, um zu zeigen, dass z$(a,b), (c,d)$Vektoren in der Ebene, die Menge

$$ad-bc=||(a,b)||\cdotp ||(c,d)|| \sin \theta$$ ist der vorzeichenbehaftete Bereich dazwischen $(a,b)$Und $(c,d)$(in dieser Reihenfolge).

Dann überprüfen wir das, indem wir das Vektorprodukt und seine Eigenschaften verwenden (wir haben es gesehen, bevor wir ganz allgemein zum Thema Determinanten kamen).$3$von$3$Determinanten tragen die Bedeutung von signierten Volumina.

Der nächste Schritt besteht darin, Determinanten als alternative multilineare Funktionen einzuführen. Wir haben Beispiele für bilineare Karten (innere Produkte), trilineare Karten wie z

$$(u,v,w)\mapsto (u\times v)\bullet w$$ und die quadrilinearen Abbildungen $$(a,b,c,d)\mapsto (a\bullet c) (b\bullet d)-(b\bullet c) (a\bullet d),$$ $$(a,b,c,d)\mapsto (a \times b)\bullet (c\times d).$$

Nun, bei der Erklärung der Multilinearität haben wir betont, dass die Tatsache, dass die letzten beiden Beispiele gleich sind, bewiesen werden kann, wenn wir nur die Gleichheit für den Fall prüfen, wo$a,b,c,d$sind Vektoren der kanonischen Basis.

Dann kommt die Zeit, die Determinante von zu definieren$n$Vektoren ein$\mathbb{R}^n$, das ist ein neues Beispiel für$n-$lineare, alternierende Funktion. Sie überprüfen, ob der Vektorraum solcher Karten tatsächlich vorhanden ist$\left(^n_n\right).$Die Schüler lernen so, dass die Determinante im Wesentlichen die einzig mögliche solche Funktion ist, bis auf ein Vielfaches, genauso wie sie gesehen haben, dass allgemeinere multilineare Abbildungen ausschließlich von ihren Werten auf Vektoren einer gewählten Basis abhängen (sagen wir, der kanonischen Basis in unserem Fall).

Obwohl ich gelernt habe, Sachen wie zu beweisen$\det(AB)=\det(A) \det(B)$Durch strenge Funktorialität definieren wir im Unterricht die Karte

$$L(X_1, \ldots , X_n)=\det(AX_1, \ldots , AX_n),$$ die aufgrund ihrer Eindeutigkeit ein konstantes Vielfaches der Determinantenfunktion ist $T(X_1, \ldots , X_n)=\det(X_1, \ldots, X_n),$und berechne die Konstante durch Auswerten auf der Identitätsmatrix, d.h $X_i=e_i.$

Daher$\det(AB)=\det(A)\det(B).$

In TW Korners Buch mit dem Titel Vectors, Pure and Applied kann man eine Konstruktion sehen, die elementare Matrizen verwendet und streng ist. Das OP kann in Korners Buch nachsehen, um eine nette, etwas bodenständigere Darstellung zu sehen.

In Op. cit. man sieht, wie Korner die Tatsache nutzt, dass eine invertierbare Matrix als Produkt elementarer Matrizen zerlegt werden kann, um die Formel zu erhalten$\det(AB)=\det(A)\det(B).$

Hinweis: Ich habe meine Darstellung absichtlich kurz gehalten, um nicht zu viel zu wiederholen, was bereits in anderen Antworten enthalten war.

$\det$ist die einzige multilineare alternierende lineare Abbildung, die so ist$\det I = 1$. (2) und (3) kombiniert mit der folgenden Eigenschaft würden definieren$\det$einzigartig.

$$\det(a_1,\dots,u,\dots,a_n) + \det(a_1,\dots,\lambda v,\dots,a_n) = \det(a_1,\dots,u + \lambda v,\dots,a_n)$$ Das einzige, was in Ihrer Definition fehlt, ist Linearität.

Die geometrische Bedeutung der Determinante beispielsweise einer 3-mal-3-Matrix ist das (vorzeichenbehaftete) Volumen des Parallelepipeds, das von den drei Spaltenvektoren (alternativ den drei Zeilenvektoren) überspannt wird. Dies verallgemeinert den (vorzeichenbehafteten) Bereich des Parallelogramms, das von den zwei Spaltenvektoren einer 2-mal-2-Matrix aufgespannt wird.

Um der geometrischen Definition nachzugehen, müssten Sie im nächsten Schritt die Bedeutung von „signed“ oben klären. Die naive Definition von Volumen ist immer positiv, während die Determinante negativ sein könnte, daher gibt es einige Erklärungsbedarf in Bezug auf Orientierungen.

Der Weg, der sowohl von Lehrern als auch von Lehrbuchautoren am häufigsten gewählt wird, ist der algebraische Weg, bei dem man eine Zauberformel aufschreiben kann und, boom! Die Determinante wurde definiert. Dies ist in Ordnung, wenn Sie eine bestimmte Menge an Stoff durcharbeiten möchten, der für den Kurs erforderlich ist, aber aus pädagogischer Sicht ist dies möglicherweise nicht der beste Ansatz.

Letztendlich ist eine Kombination aus Geometrie und Algebra erforderlich, um dieses Konzept richtig zu erklären. Es verbindet sich mit fortgeschritteneren Themen wie äußere Algebren, aber das ist bereits die nächste Stufe.

Eine Begründung, die ich der Determinantenfunktion geben könnte, ist, die Eigenschaft der Potenz zu verallgemeinern, dh wir wissen das für alle Skalare$x,a,b,c$es hält:$x^{a + b + c \ldots} = x^a x^b x^c\ldots$

Aber gehen wir mal davon aus$a,b,c\ldots$sind eigentlich die diagonalen Einträge einer Matrix$\mathbf{A}$dann hält es das$x^{trace(\mathbf{A})} = det(x^\mathbf{A})$, mit$x^A$die Matrix Exponential (von Basis$x$);