Vereinfachung eines Ausdrucks mit Produkten ∏1≤i Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-03T01:55:24.393Z Pedro Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-03T01:55:24.393Z Die Determinante einer MatrixC= (Cich j)n × n C = ( C ich J ) N × N C=(c_{ij})_{n\times n}deren Einträge die Form habenCich j=1Aich+BJ C ich J = 1 A ich + B J c_{ij}=\frac{1}{a_i+b_j}wird von gegeben det C=∏1 ≤ ich < j ≤ n(Aich−AJ) (Bich−BJ)∏1 ≤ ich , j ≤ n(A1+Bich). det C = ∏ 1 ≤ ich < J ≤ N ( A ich − A J ) ( B ich − B J ) ∏ 1 ≤ ich , J ≤ N ( A 1 + B ich ) . \det C=\frac{\prod_{1\leq i<j\leq n}(a_i-a_j)(b_i-b_j)}{\prod_{1\leq i,j\leq n}(a_1+b_i)}.In diesen Anmerkungen (S. 145) wird diese Formel auf bestimmte Matrizen angewendetG G GUndGM G M G_m. Das Ergebnis ist detG = _∏1 ≤ ich < j ≤ n(ich2π2−J2π2)2∏1 ≤ ich , j ≤ n(ich2π2+J2π2),detGM=∏'1 ≤ ich < j ≤ n(ich2π2−J2π2)2∏'1 ≤ ich , j ≤ n(ich2π2+J2π2)(1) (1) det G = ∏ 1 ≤ ich < J ≤ N ( ich 2 π 2 − J 2 π 2 ) 2 ∏ 1 ≤ ich , J ≤ N ( ich 2 π 2 + J 2 π 2 ) , det G M = ∏ 1 ≤ ich < J ≤ N ' ( ich 2 π 2 − J 2 π 2 ) 2 ∏ 1 ≤ ich , J ≤ N ' ( ich 2 π 2 + J 2 π 2 ) \det G=\frac{\prod_{1\leq i<j\leq n}(i^2\pi^2-j^2\pi^2)^2}{\prod_{1\leq i,j\leq n}(i^2\pi^2+j^2\pi^2)},\quad \det G_m=\frac{\prod^{\prime}_{1\leq i<j\leq n}(i^2\pi^2-j^2\pi^2)^2}{\prod^{\prime}_{1\leq i,j\leq n}(i^2\pi^2+j^2\pi^2)}\tag{1}"Wo' ' ^\primebedeutet, dass der IndexM M mwurde im Produkt übersprungen". Das Ziel ist zu rechnendetGMdet G det G M det G \frac{\det G_m}{\det G}. Eine direkte Substitution gibt detGMdet G=∏'1 ≤ ich < j ≤ n(ich2π2−J2π2)2∏'1 ≤ ich , j ≤ n(ich2π2+J2π2)⋅∏1 ≤ ich , j ≤ n(ich2π2+J2π2)∏1 ≤ ich < j ≤ n(ich2π2−J2π2)2 det G M det G = ∏ 1 ≤ ich < J ≤ N ' ( ich 2 π 2 − J 2 π 2 ) 2 ∏ 1 ≤ ich , J ≤ N ' ( ich 2 π 2 + J 2 π 2 ) ⋅ ∏ 1 ≤ ich , J ≤ N ( ich 2 π 2 + J 2 π 2 ) ∏ 1 ≤ ich < J ≤ N ( ich 2 π 2 − J 2 π 2 ) 2 \frac{\det G_m}{\det G}=\frac{\prod^{\prime}_{1\leq i<j\leq n}(i^2\pi^2-j^2\pi^2)^2}{\prod^{\prime}_{1\leq i,j\leq n}(i^2\pi^2+j^2\pi^2)}\cdot \frac{\prod_{1\leq i,j\leq n}(i^2\pi^2+j^2\pi^2)}{\prod_{1\leq i<j\leq n}(i^2\pi^2-j^2\pi^2)^2}was laut den Notizen zu vereinfachen sollte detGMdet G= 2M2π2∏'1 ≤ k ≤ n(M2+k2)2(M2−k2)2.(2) (2) det G M det G = 2 M 2 π 2 ∏ ' 1 ≤ k ≤ N ( M 2 + k 2 ) 2 ( M 2 − k 2 ) 2 . \frac{\det G_m}{\det G}=2 m^2 \pi^2\underset{{1\leq k\leq n}}{{\prod}^{\prime}}\frac{(m^2+k^2)^2}{(m^2-k^2)^2}.\tag{2} Frage: Wie manipuliert( 1 ) ( 1 ) (1)richtig um zu bekommen( 2 ) ( 2 ) (2)? Lineare Algebra Matrizen Numerische Methoden bestimmend Kontrolltheorie Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-03T01:55:24.393Z Wow. Also dieπ π \piist der tatsächliche Halbumfang des Einheitskreises, keine rechts geschriebene Permutation ... Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-03T01:55:24.393Z Darij Grinberg Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-03T01:55:24.393Z @darijgrinberg Ja, nur eine Konstante. Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-03T01:55:24.393Z Pedro Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-03T01:55:24.393Z Tengu Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-03T01:55:24.393Z Wir haben detGMdet G=∏'1 ≤ ich < j ≤ n(ich2π2−J2π2)2∏1 ≤ ich < j ≤ n(ich2π2−J2π2)2⋅∏1 ≤ ich , j ≤ n(ich2π2+J2π2)∏'1 ≤ ich , j ≤ n(ich2π2+J2π2). det G M det G = ∏ 1 ≤ ich < J ≤ N ' ( ich 2 π 2 − J 2 π 2 ) 2 ∏ 1 ≤ ich < J ≤ N ( ich 2 π 2 − J 2 π 2 ) 2 ⋅ ∏ 1 ≤ ich , J ≤ N ( ich 2 π 2 + J 2 π 2 ) ∏ 1 ≤ ich , J ≤ N ' ( ich 2 π 2 + J 2 π 2 ) . \frac{\det G_m}{\det G}=\frac{\prod^{\prime}_{1\leq i<j\leq n}(i^2\pi^2-j^2\pi^2)^2}{\prod_{1\leq i<j\leq n}(i^2\pi^2-j^2\pi^2)^2} \cdot \frac{\prod_{1\leq i,j\leq n}(i^2\pi^2+j^2\pi^2)}{\prod^{\prime}_{1\leq i,j\leq n}(i^2\pi^2+j^2\pi^2)}. Und ∏'1 ≤ ich < j ≤ n(ich2π2−J2π2)∏1 ≤ ich < j ≤ n(ich2π2−J2π2)=1∏m < k ≤ n(M2π2−k2π2)∏1 ≤ k < m(k2π2−M2π2),=( -1 _)m − 1∏'1 ≤ k ≤ n(M2π2−k2π2). ∏ 1 ≤ ich < J ≤ N ' ( ich 2 π 2 − J 2 π 2 ) ∏ 1 ≤ ich < J ≤ N ( ich 2 π 2 − J 2 π 2 ) = 1 ∏ M < k ≤ N ( M 2 π 2 − k 2 π 2 ) ∏ 1 ≤ k < M ( k 2 π 2 − M 2 π 2 ) , = ( − 1 ) M − 1 ∏ 1 ≤ k ≤ N ' ( M 2 π 2 − k 2 π 2 ) . \begin{align*} \frac{\prod^{\prime}_{1\leq i<j\leq n}(i^2\pi^2-j^2\pi^2)}{\prod_{1\leq i<j\leq n}(i^2\pi^2-j^2\pi^2)} & = \frac{1}{\prod_{m< k \le n}(m^2\pi^2-k^2\pi^2) \prod_{1 \le k<m}(k^2\pi^2-m^2\pi^2)}, \\ & = \frac{(-1)^{m-1}}{\prod_{1 \le k \le n}^{\prime}(m^2\pi^2-k^2\pi^2)}. \end{align*}Ähnlich, ∏1 ≤ ich , j ≤ n(ich2π2+J2π2)∏'1 ≤ ich , j ≤ n(ich2π2+J2π2)=∏1 ≤ k ≤ n'(M2π2+k2π2)2⋅ 2M2π2. ∏ 1 ≤ ich , J ≤ N ( ich 2 π 2 + J 2 π 2 ) ∏ 1 ≤ ich , J ≤ N ' ( ich 2 π 2 + J 2 π 2 ) = ∏ 1 ≤ k ≤ N ' ( M 2 π 2 + k 2 π 2 ) 2 ⋅ 2 M 2 π 2 . \frac{\prod_{1\leq i,j\leq n}(i^2\pi^2+j^2\pi^2)}{\prod^{\prime}_{1\leq i,j\leq n}(i^2\pi^2+j^2\pi^2)}=\prod_{1 \le k \le n}^{\prime}(m^2\pi^2+k^2\pi^2)^2 \cdot 2m^2\pi^2.Das Produkt2M2π2 2 M 2 π 2 2m^2\pi^2oben erscheint fürich = j = m ich = J = M i=j=m. Somit, detGMdet G=[( -1 _)m − 1∏'1 ≤ k ≤ n(M2π2−k2π2)]2⋅∏1 ≤ k ≤ n'(M2π2+k2π2)2⋅ 2M2π2,= 2M2π2∏1 ≤ k ≤ n'(M2+k2)2(M2−k2)2. det G M det G = [ ( − 1 ) M − 1 ∏ 1 ≤ k ≤ N ' ( M 2 π 2 − k 2 π 2 ) ] 2 ⋅ ∏ 1 ≤ k ≤ N ' ( M 2 π 2 + k 2 π 2 ) 2 ⋅ 2 M 2 π 2 , = 2 M 2 π 2 ∏ 1 ≤ k ≤ N ' ( M 2 + k 2 ) 2 ( M 2 − k 2 ) 2 . \begin{align*} \frac{\det G_m}{\det G} & =\left[ \frac{(-1)^{m-1}}{\prod_{1 \le k \le n}^{\prime}(m^2\pi^2-k^2\pi^2)} \right]^2 \cdot \prod_{1 \le k \le n}^{\prime}(m^2\pi^2+k^2\pi^2)^2 \cdot 2m^2\pi^2,\\ & =2m^2\pi^2\prod_{1 \le k \le n}^{\prime}\frac{(m^2+k^2)^2}{(m^2-k^2)^2}. \end{align*} Das Wetter ist jetzt gut. Jetzt ist 2023-04-03T01:55:24.393Z

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