Beweis, dass die Determinante einer 3×33×33 \times 3 Matrix das Volumen des von den Säulen aufgespannten Parallelepipeds ist

Question

Beweis, dass die Determinante einer 3×33×33 \times 3 Matrix das Volumen des von den Säulen aufgespannten Parallelepipeds ist

Vektoren
Matrizen
bestimmend
Mathematik
Kreuzprodukt
Lineare Algebra

John Hippisley

Ich habe kürzlich gelesen, wie die Kreuzproduktformel funktioniert $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \begin{vmatrix}\textbf{i}&\textbf{j}&\textbf{k}\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3 \end{vmatrix}$ kommt von folgendem:

Betrachten Sie das von einem Vektor aufgespannte Parallelepiped $\boldsymbol{x}$ und die konstanten Vektoren $\boldsymbol{r}$ Und $\boldsymbol{q}$ . Sein signiertes Volumen ist dann $vol(\boldsymbol{x})=\begin{vmatrix}x_1&x_2&x_3\\r_1&r_2&r_3\\q_1&q_2&q_3\end{vmatrix}$ . Ich habe nicht viel darüber nachgedacht, da ich die Determinante immer als die vorzeichenbehaftete Fläche / das Volumen von allem angesehen habe, was von den Spalten- (oder Zeilen-) Vektoren in der Matrix überspannt wird. Dies ist leicht in den zwei Dimensionen zu sehen:

Unter Verwendung der Tatsache, dass die Lautstärke in Abhängigkeit von $\boldsymbol{x}$ eine lineare Transformation ist, wissen wir, dass es eine Matrix gibt $P=\begin{pmatrix}p_1&p_2&p_3\end{pmatrix}$ so dass $P\boldsymbol{x} =vol(\boldsymbol{x})$ . Dies ist dasselbe wie die Aussage, dass es einen Vektor gibt $\boldsymbol{p}=\begin{pmatrix}p_1\\p_2\\p_3\end{pmatrix}$ so dass $\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{x}=vol(\boldsymbol{x})$ . Jetzt wissen wir das auch $(\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{q})\cdot\boldsymbol{x}=vol(\boldsymbol{x})$ , also wenn wir auflösen können $\boldsymbol{p}$ dann haben wir auch das Kreuzprodukt gefunden $\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{q}$ . Durch den Missbrauch der Notation und des Sagens $\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix}\textbf{i}\\\textbf{j}\\\textbf{k}\end{pmatrix}$ Wir lösen diese Gleichung.

Meine Frage lautet: Gibt es eine geometrische Interpretation der Formel für die 3x3-Determinante wie für die 2x2? Ich weiß, dass Sie das skalare Tripelprodukt von drei Vektoren berechnen und zeigen können, dass es der Berechnung der Determinante der Matrix mit diesen drei Vektoren als Spalten (oder Zeilen) entspricht, aber dies erklärt die Motivation hinter der Formel nicht auf die gleiche Weise wie die obige Grafik gilt für den 2x2-Fall.

Matematleta

Das Kreuzprodukt der Vektoren, die die Basis des Parallelepipeds bilden, ist ein Vektor senkrecht zu beiden, dessen Norm gleich der Fläche der Basis ist. Die skalare Projektion des dritten Vektors auf das normalisierte Kreuzprodukt ergibt die Höhe des Parallelepipeds, und der Absolutwert des dreifachen Produkts ist dann wie erwartet einfach die Fläche der Basis mal der Höhe.

John Hippisley

@Matematleta Ja, aber gibt es eine bessere Möglichkeit zu sehen, dass der Prozess der Berechnung der 3x3-Determinante das Volumen angibt, als nur zu zeigen, dass er das gleiche Ergebnis liefert wie die Berechnung des skalaren Dreifachprodukts?

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Beweis, dass die Determinante einer 3×33×33 \times 3 Matrix das Volumen des von den Säulen aufgespannten Parallelepipeds ist

Das Kreuzprodukt der Vektoren, die die Basis des Parallelepipeds bilden, ist ein Vektor senkrecht zu beiden, dessen Norm gleich der Fläche der Basis ist. Die skalare Projektion des dritten Vektors auf das normalisierte Kreuzprodukt ergibt die Höhe des Parallelepipeds, und der Absolutwert des dreifachen Produkts ist dann wie erwartet einfach die Fläche der Basis mal der Höhe.
@Matematleta Ja, aber gibt es eine bessere Möglichkeit zu sehen, dass der Prozess der Berechnung der 3x3-Determinante das Volumen angibt, als nur zu zeigen, dass er das gleiche Ergebnis liefert wie die Berechnung des skalaren Dreifachprodukts?

Rescha Adrian Tanuharja · Answer 1

Die Addition / Subtraktion einer Spalte mit einer anderen ändert die Determinante nicht, also die Determinante der Matrix $A$ ist gleich der Determinante der Diagonalmatrix $B$ , deren Spalten Linearkombinationen der Matrix sind $A$ Spalte:

B_{\cdot ich} = \sum C_{ich J} A_{\cdot J} \to | B | = | A |

$B_{\cdot i}=\sum{c_{ij}A_{\cdot j}}\phantom{x}\to\phantom{x}\left|B\right|=\left|A\right|$

Das Verschieben einer "Oberfläche" eines Objekts parallel zu einer seiner anderen Kanten ändert seine nicht $n$ -Volumen. Die beiden Objekte, die durch ihre jeweilige Gruppe von Scheitelpunkten unten gegeben sind, haben also dasselbe $n$ -Volumen:

\sum P_{ich} A_{\cdot ich}, P_{ich} \in {0, 1} \sum Q_{ich} B_{\cdot ich}, Q_{ich} \in {0, 1}

$\sum{p_{i}A_{\cdot i}}\phantom{x},\phantom{x}p_{i}\in\{0,1\}\\ \sum{q_{i}B_{\cdot i}}\phantom{x},\phantom{x}q_{i}\in\{0,1\}$

Seit $B$ eine Diagonalmatrix ist, ist es ziemlich offensichtlich, dass ihre Determinante die gibt $n$ -Volumen des zweiten Objekts oben. Daher Determinante von $A$ gleich Determinante von $B$ was gleich ist $n$ -Volumen des zweiten Objekts, das gleich dem ist $n$ Volumen des ersten Objekts.

Ich verstehe den Ausdruck nicht $B_{\cdot i}=\sum{c_{ij}A_{\cdot j}}$ Können Sie darauf näher eingehen?
@JohnHippisley im Grunde verwenden Sie die Gaußsche Eliminierung für die Matrix $A$ Diagonalmatrix zu erhalten $B$
Ah, und dadurch bleibt das Volumen erhalten, da wir durch das Hinzufügen von Vielfachen der Säulen nur eine Scherung durchführen?
@JohnHippisley ja das ist richtig :) und sobald die Matrix diagonal wird, ist die Determinante einfach ein Produkt von $n$ senkrechte Vektoren, die uns Volumen geben
Ich versuche, die Zeilenoperationen herauszufinden, um die Matrix in diagonale Form zu bringen, kann es aber nicht bekommen. Können Sie mir helfen?

Mason · Answer 2

Im Allgemeinen haben wir das, wenn $A \in GL(n, \mathbb{R}^n)$ Und $S \subset \mathbb{R}^n$ ist Borel (oder Lebesgue) also messbar $vol(A(S)) = |\det(A)|vol(S)$ . Ein heuristischer Beweis ist nicht schwierig (für einen strengen Beweis genügt es nach dem Satz von Caratheodory, den Fall zu betrachten, wenn $S$ ein Produkt von Intervallen ist, dann funktioniert der Rest dieses heuristischen Beweises). Seit $\det(E_1E_2) = \det(E_1)\det(E_2)$ , genügt es, den Satz zu beweisen, wenn $A$ ist eine Zeilenoperation. Wenn $A$ ist von der Form $Ae_j = c_j$ , $c_j \neq 0$ , dann ist das geometrisch offensichtlich $vol(A(S)) = |c_1|\dots|c_n|vol(S)$ . Wenn $A$ ist von der Form $Ae_j = e_{\sigma(j)}$ , $\sigma \in S_n$ , dann ist das geometrisch offensichtlich $vol(A(S)) = vol(S)$ . Wenn $A$ ist von der Form $Ae_1 = e_1 + ce_2$ , $Ae_j = e_j$ für $j \geq 2$ , dann nach dem Satz von Fubini, $vol(A(S)) = vol(S)$ .

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Matematleta

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Rescha Adrian Tanuharja

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Rescha Adrian Tanuharja

John Hippisley

Rescha Adrian Tanuharja

John Hippisley

Mason

Skalares Tripelprodukt - warum äquivalent zur Determinante?

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Eindeutiges u∧vu∧vu\wedge v, so dass (u∧v)⋅w=∣∣∣∣∣u1v1w1u2v2w2u3v3w3∣∣∣∣∣(u∧v)⋅w=|u1u2u3v1v2v3w1w2w3|(u\wedge v)\cdot w = \small\begin{vmatrix} u_1&u_2&u_3 \\ v_1&v_2&v_3 \\ w_1&w_2&w_3 \end{vmatrix} für alle w∈R3w∈ℝ3w\inℝ^3

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