Beweis dieser linearen Algebra-Identität

Ihr Beweis sieht für mich richtig aus, Sie verwenden das$x^T w$ein Skalar ist, und auch, dass die Matrixmultiplikation assoziativ ist.

Direkter kann man das argumentieren

Ich vermute, dass$v'$bezeichnet die Transponierung.

Dies verwendet neben der Transposition einen Trick:$w'x$ist ein mit an zu multiplizierender Skalar$n\times1$Matrix. Sie erhalten das gleiche Ergebnis, wenn Sie stattdessen das Produkt betrachten$x(w'x)$wo jetzt$w'x$gilt als ein$1\times1$Matrix. Aber$w'x=x'w$, damit du schreiben kannst

Diese Art von Tatsache lässt sich leicht verstehen, wenn man abstrakte lineare Algebra verwendet, im Gegensatz zur Matrixalgebra.

Lassen$x,w\in V$, Wo$V$ist ein endlichdimensionaler Vektorraum mit positiv definitem Skalarprodukt$\langle,\rangle$.

Ihre beiden Ausdrücke,$(w^{t}x)x$Und$(xx^{t})w$, kann als Ausdruck der Kontraktion von auf Matrixebene angesehen werden

$x \otimes x^{*} \otimes w \in V\otimes V^{*} \otimes V$,

wobei die Kontraktion auf den letzten 2 Tensorfaktoren liegt, wo$x^{*}=\langle x,-\rangle\in V^{*}$.

Um deutlicher zu machen, dass die Identität aus dieser Sicht im Wesentlichen Assoziativität ist, würde ich empfehlen, sie in der Form zu schreiben:

$(xx^{t})w=x(x^{t}w)$