Korrektes Ergebnis in Matrix-bezogener algebraischer Gleichung aus Versehen gefunden

Ich arbeite mit Computergrafik und musste herausfinden, wie etwas in einem Bild gedreht wurde, damit ich einen Kamerawinkel anpassen und das Objekt in 3D nachbilden konnte.

Das Bild zeigt die Referenz mit den hinzugefügten bekannten Vektoren.

Der horizontale Vektor$\vec {x_0}$kann normalisiert werden$\begin{bmatrix}-1 & 0 & 0\end{bmatrix}$und der andere Vektor$\vec y$kann normalisiert werden$\begin{bmatrix}0.20720675587654114 & 0.9782971739768982 & 0\end{bmatrix}$. Der ursprüngliche Vektor$\vec y_0$gilt als$\begin{bmatrix}0 & 1 & 0\end{bmatrix}$.

Angesichts$\vec {x_0}$bleibt horizontal und$\vec y_0$nicht, ich habe festgestellt, dass es zwei Rotationen gab, eine um die x-Achse ($\theta$) und eine um die y-Achse ($\gamma$) . Ich habe auch festgestellt, dass eine orthografische Projektion verwendet wurde. Für meine Zwecke geht es mir nicht um die endgültige z-Koordinate.

Ich habe Rotations- und Projektionsmatrizen wie folgt erstellt:

$Rot_x = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & cos \theta & sin \theta\\0 & -sin \theta & cos \theta\end{bmatrix}$

$Rot_y = \begin{bmatrix}cos \gamma & 0 & sin \gamma\\0 & 1 & 0\\-sin \gamma & 0& cos \gamma\end{bmatrix}$

$Proj = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}$

Kombiniere sie dann:

$$\begin{align}{Rot_x \cdot Rot_y \cdot Proj} & = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & cos \theta & sin \theta\\ 0 & -sin \theta & cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} cos \gamma & 0 & sin \gamma\\ 0 & 1 & 0\\ -sin \gamma & 0& cos \gamma \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\\& = \begin{bmatrix} cos \gamma & 0 & sin \gamma\\ -sin \gamma sin \theta & cos \theta & cos \gamma sin \theta\\ -sin \gamma cos \theta & -sin \theta & cos \gamma cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\\& = \begin{bmatrix} cos \gamma & 0 & 0\\ -sin \gamma sin \theta & cos \theta & 0\\ -sin \gamma cos \theta & -sin \theta & 0 \end{bmatrix} \end{align}$$

Wenn ich die Transformation in Einheitsvektornotation schreibe, erhalte ich:

$$\begin{align}\vec y & = ({y_{0x}} cos \gamma - {y_{0y}} sin \gamma sin \theta - {y_{0z}} sin \gamma cos \theta) \mathbf {\hat i} + ({y_{0x}} 0 + {y_{0y}} cos \theta - {y_{0z}} sin \theta) \mathbf {\hat j} + ({y_{0x}} 0 + {y_{0y}} 0 + {y_{0z}} 0) \mathbf {\hat k}\\& = ({y_{0x}} cos \gamma - {y_{0y}} sin \gamma sin \theta - {y_{0z}} sin \gamma cos \theta) \mathbf {\hat i} + ({y_{0y}} cos \theta - {y_{0z}} sin \theta) \mathbf {\hat j} \end{align}$$

Werte von ersetzen$\vec y$Und$\vec y_0$wir bekommen:

$$\begin{align} 0.20720675587654114 \mathbf {\hat i} + 0.9782971739768982 \mathbf {\hat j} & = (0 cos \gamma - 1 sin \gamma sin \theta - 0 sin \gamma cos \theta) \mathbf {\hat i} + (1 cos \theta - 0 sin \theta) \mathbf {\hat j}\\ & = -(sin \gamma sin \theta) \mathbf {\hat i} + (cos \theta) \mathbf {\hat j}\ \end{align}$$

Mit dieser Gleichung$\theta$Und$\gamma$sollte gefunden werden können (unter Verwendung der Identität$sin \theta = \sqrt{1-{cos{^2}\theta}}$) durch die Gleichungen:

$$\begin{align} cos \theta & = 0.9782971739768982\\ \theta & = cos^{-1}(0.9782971739768982)\\ -(sin \gamma sin \theta) & = 0.20720675587654114\\ sin \gamma & = \frac{0.20720675587654114}{-sin \theta}\\ sin \gamma & = \frac{0.20720675587654114}{\pm \sqrt{1-0.9782971739768982^2}}\\ \gamma & = sin^{-1}\left(\frac{0.20720675587654114}{\pm \sqrt{1-0.9782971739768982^2} }\right) \end{align}$$

Ich habe jedoch einen Fehler gemacht und Folgendes getan, was die richtigen Winkel zurückgab:

$$\begin{align} -sin \theta & = 0.9782971739768982\\ sin \theta & = -0.9782971739768982\\ \theta & = sin^{-1}(-0.9782971739768982)\\ -(sin \gamma sin \theta) & = 0.20720675587654114\\ sin \gamma & = \frac{0.20720675587654114}{-sin \theta}\\ sin \gamma & = \frac{0.20720675587654114}{0.9782971739768982}\\ \gamma & = sin^{-1}\left(\frac{0.20720675587654114}{0.9782971739768982 }\right) \end{align}$$

Dies ergab die folgenden Ergebnisse, die eine Ebene korrekt drehten (mit einigen Vorzeichenanpassungen aufgrund der Rotationsausrichtung des Programms):

$$\begin{align} \theta & = -78.04128901169878^\circ\\ \gamma & = 12.22806234616057^\circ \end{align}$$

Offensichtlich habe ich irgendwo bei der Überprüfung meiner Ergebnisse einen Fehler gemacht. Kann jemand sehen, wo ich den Fehler gemacht habe? Wie gesagt, die fehlerhaften Gleichungen ergaben korrekte Werte, die "richtigen" Gleichungen jedoch einen Bereichsfehler.