Lineare Kombination von Vektoren vs. Skalarprodukt in der Matrixvektormultiplikation

Betrachten Sie die Operation:

$\begin{bmatrix}2 & 0\\1 & 2\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$

Dabei kodiert die Matrix die Transformation, die die Basisvektoren i, j zuführt$\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}$Und$\begin{bmatrix}0\\2\end{bmatrix}$bzw. Also gemäß der Definition von Vektoren der Vektor$\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$ist 1 Einheit entfernt von i und 1 Einheit entfernt von j. Nach der Transformation wird es bei sein$\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}$

Die Matrix-Vektor-Multiplikation, wenn sie als eine solche lineare Kombination ausgedrückt wird, ist sehr intuitiv. Derselbe Ergebnisvektor wird jedoch erhalten, wenn wir das Skalarprodukt der Zeilenvektoren der Matrix mit dem Spaltenvektor bilden. Warum ist das möglich? Offensichtlich sind [2 0] nicht zusammen, sie gehören zu unterschiedlichen Vektoren. Aber trotzdem funktioniert es. Ist es eine Zahlenmagie? oder übersehe ich eine geometrische Perspektive?

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Wenn man sich die Antwort von FoobazJohn ansieht, scheint es eine Beziehung zwischen ihnen zu geben. Was ist es ?