Warum stellen wir jede Spalte durch x- und y-Werte im Spaltenbild eines Systems linearer Gleichungen dar?

Ich fing an, Gilbert Strangs Vorlesungen über lineare Algebra anzuschauen. In der ersten Vorlesung hat er das folgende lineare Gleichungssystem

{ 2 X − j = 0 − X + 2 j = 3

Wenn er über das Spaltenbild der Gleichungen spricht, schreibt er die Gleichungen als die folgende lineare Kombination von Spalten

X [ 2 − 1 ] + Y [ − 1 2 ] = [ 0 3 ]

Und dann zeigt er, wie es geometrisch aussieht, wie folgtSpaltenbild

Eine Sache, die ich aus der obigen Darstellung nicht verstehe, ist, wie können wir zwei Koeffizienten von X (2 und -1) betrachten und sie so darstellen, als wären sie X- und Y-Koordinaten eines Vektors?

So eine Darstellung habe ich noch nie gesehen ... Ich meine, natürlich kann man die Punkte einfach in eine Ebene einzeichnen, aber ich verstehe nicht, was wir davon haben.
Nach meinem Verständnis zeigt die Spaltendarstellung, dass jeder Punkt eine lineare Transformation von Basisvektoren ist? idk, ich dachte daran, basierend auf 3blue1brown-Videos
@MattiP., irgendwie habe ich das Gefühl, dass dies mit dem Isomorphismus zu tun hat. in gewisser Weise ... diese Koeffizienten und das 2D-Koordinatensystem sind isomorph. ist das sinnvoll?
Es hat dies in folgendem Sinne verstanden: Wir können die Dinge so darstellen. Es ist etwas, das man herausfindet, genauso wie ppl vor Decart keine Flugzeuge darstellte. Wenn Sie es tun, erhalten Sie alle die gleichen Schlussfolgerungen, und es ist viel aussagekräftiger.
Die beiden Koeffizienten von X oder Y sind nur ein Satz von zwei Zahlen. Es passt einfach zur Definition eines Vektors und deshalb können wir sie uns als Vektoren vorstellen. Vektoren werden nicht als Koordinaten dargestellt. Sie haben eine Richtung und eine Größe. Der Vektor (2,-1) kann an vielen verschiedenen Punkten auf derselben Ebene dargestellt werden (Ihre Darstellung zeigt nur denjenigen, der vom Punkt (0,0) ausgeht. Stellen Sie sich den Vektor also nicht als Koordinaten vor, sondern als Größe eine Länge und eine Richtung haben, aber das ist nur eine geometrische Darstellung dessen, was im Wesentlichen eine abstrakte Idee einer Menge von zwei Zahlen ist.

Antworten (2)

Vor 1600 haben wir keine X,Y-Datentabellen in X,Y-Plots dargestellt.

Es war eine Art Entdeckung, und Sie können es testen, vorhersagen und so weiter.

Es ist nützlich.

Auf die gleiche Weise können Sie diese Koeffizienten als Vektoren betrachten, und das ist sehr aufschlussreich. Denn aus deren Form und Werten lassen sich Eigenschaften von Lösungen etc. ableiten.

Genauso verhält es sich mit Matrizen.

Nehmen Sie die folgenden Substitutionen: u = [ 2 − 1 ] , v = [ − 1 2 ] Und w = [ 0 3 ] . Dann sagt Gilbert Strang, dass wir etwas hinzufügen müssen (sagen wir X = A ) des Vektors u bis zu einem gewissen Betrag (z j = B ) des Vektors v um den Vektor zu bekommen w = A u + B v . Als nächstes findet er die richtigen Beträge, um die Gleichheit wahr zu machen, und zeichnet sie einfach. Ich glaube nicht, dass es etwas Verwirrendes gibt :)

Aber meine Frage war ... wie können wir Koeffizienten als X einfach als x- und y-Koordinaten betrachten? gibt es dafür einen grund?
Warum stellen wir jede Spalte durch x- und y-Werte im Spaltenbild eines Systems linearer Gleichungen dar?
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