Bedeutung von Vektorgleichungen

Ja$x,y$sind Skalare. Ja, die Spaltenvektoren sind die gleichen wie Sie erwähnt haben. Diese Notation ist klassisch in der linearen Algebra, weil Sie das Obige schreiben können als

$$\begin{bmatrix} 1 & -4 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\ 6 \end{bmatrix}$$ wo Sie jetzt nur noch die Matrix "invertieren" müssen, um sie zu erhalten$x,y$.

Tatsache ist, dass jedes lineare System in kartesischer Form auch in Matrixform ausgedrückt werden kann$Au=b$und das Produkt$Au$kann auch als lineare Kombination der Spalten der Matrix angesehen werden$A$durch die Komponenten des Vektors$u$.

$$\overbrace{\boxed{\left\{ \begin{array}{rcl} a_{11}x+a_{12}y &=& b_1\\ a_{21}x+a_{22}y &=& b_2\\ \end{array} \right.}}^{\text{cartesian form}} \,\equiv\, \overbrace{\boxed{\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}}}^{\text{matrix form}} \,\equiv\, \overbrace{\boxed{x\begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \end{bmatrix}+y\begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}}}^{\text{vector form}}$$

In einigen Fällen kann diese Interpretation (dh Lösung als Kombination von Matrix-Spalten-Vektoren) sehr nützlich sein. In diesem speziellen Fall scheint es nicht sehr aufschlussreich, die Lösung zu finden.

Als Referenz schlage ich vor, einen Blick auf die erste Lektion des berühmten Kurses Lineare Algebra von Prof. Gilbert Strang zu werfen .

Ich stimme den anderen Antworten zu, dass die Matrixform die üblichere Art ist, das System linearer Gleichungen zu betrachten.

Aber die vektorielle Betrachtungsweise kann man sich wie in einem 2-D-Diagramm vorstellen, da wir es mit zweidimensionalen Vektoren zu tun haben.

Deutlich$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$Und$\begin{bmatrix} -4 \\ 3 \end{bmatrix}$sind linear unabhängig , da das eine kein skalares Vielfaches des anderen ist.

Daher die Gleichung:

$$x\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}+y\begin{bmatrix} -4 \\ 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 8 \\ 6 \end{bmatrix}$$

kann gedacht werden als: "Welche einzigartige lineare Kombination der$2-$d-Vektoren$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$Und$\begin{bmatrix} -4 \\ 3 \end{bmatrix}$ist gleich$\begin{bmatrix} 8 \\ 6 \end{bmatrix},$und ich persönlich finde diese Einzigartigkeit irgendwie "interessant" oder "nett", nehme ich an.