Lineare Unabhängigkeit von Vektoren und Moll von Matrizen

Beweisen Sie, dass es sich um einen Minderjährigen handelt k nicht Null ist, dann sind die entsprechenden Spalten der Matrix linear unabhängig

„Der Rang einer Matrix ist die maximale Ordnung eines von Null verschiedenen Minors A "

Der Beweis dieser Aussage basiert auf der Tatsache, dass "wenn ein Minderjähriger der Ordnung k nicht Null ist, dann sind die entsprechenden Spalten der Matrix linear unabhängig".

Es sieht so aus, als ob wir gegeben sind R Vektoren jeder Dimension N , Dann R Vektoren sind unabhängig, wenn die Vektoren mit N − R herausgenommene Dimensionen sind linear unabhängig ?

Mein Versuch

A 1 → = ( A 1 , A 2 , A 3 ) , A 2 → = ( B 1 , B 2 , B 3 ) X 1 [ A 1 A 2 A 3 ] + X 2 [ B 1 B 2 B 3 ] = [ 0 0 0 ] ⟹ [ A 1 B 1 A 2 B 2 A 3 B 3 ] [ X 1 X 2 ] = [ 0 0 0 ] Für  A 1 → , A 2 →  unabhängig sein,  A 1 → X 1 + A 2 → X 2 = 0 →  iff  X 1 = X 2 = 0 A 1 X 1 + B 1 X 2 = 0 A 2 X 1 + B 2 X 2 = 0 A 3 X 1 + B 3 X 2 = 0
Wenn wir finden, dass die Lösungen für zwei beliebige von drei Gleichungen sind X 1 = X 2 = 0 dann impliziert es, dass die Lösungen für alle drei Gleichungen sein müssen X 1 = X 2 = 0 . dh.,
| A 1 B 1 A 2 B 2 | ≠ 0
Daher ( A 1 , A 2 ) Und ( B 1 , B 2 ) sind linear unabhängig ⟹ A 1 → , A 2 → sind linear unabhängig.

Ist es das, was hier passiert?

Und wie kann man einen formalen Beweis der obigen Aussage schreiben?

Du musst das Richtige herausnehmen N − R Einträge natürlich.
@TedShifrin Ich denke, wir müssen alles ausprobieren ( N − R ) Einträge und prüfen Sie, ob mindestens einer von ihnen eine Determinante ungleich Null hat. In diesem Fall X 1 = X 2 = 0 eine Lösung werden, also sind die gegebenen zwei Vektoren unabhängig, richtig?
Du brauchst R Pivots in Staffelform, also sind die Zeilen, in denen sie erscheinen, diejenigen, die Sie behalten möchten.
@TedShifrin Wie kann man es formal beweisen, wenn man bedenkt, dass die Unabhängigkeit der Vektoren, die man durch Herausnehmen einiger der Komponenten erhält, die Unabhängigkeit der ursprünglichen Vektoren impliziert?
Wenn Sie sich mit der Stufenform auskennen, liefert das, was ich gerade gesagt habe, den Beweis. Das Entfernen der Zeilen ohne Drehpunkte wirkt sich nicht auf die Unabhängigkeit der Spaltenvektoren aus.
@TedShifrin Okay. Also hier haben wir N > R In der rref sind alle Nicht-Pivot-Zeilen Null, das Hinzufügen und Entfernen von ihnen wirkt sich nicht auf die lineare Unabhängigkeit von Vektoren aus, richtig
Das ist natürlich richtig.

Antworten (2)

Danke @TedShifrin für den Hinweis.

X 1 [ A 1 A 2 ⋮ A N ] + X 2 [ B 1 B 2 ⋮ B N ] + ⋯ + X R [ C 1 C 2 ⋮ C N ] = [ 0 0 ⋮ 0 ] A X = B ⟹ [ A 1 B 1 ⋯ C 1 A 2 B 2 ⋯ C 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A N B N ⋯ C N ] N × R [ X 1 X 2 ⋮ X R ] R × 1 = [ 0 0 ⋮ 0 ] N × 1
Wenn A 1 → , A 2 → , . . . , A R → sind linear unabhängig und N > R , die rref von A wird von der Form sein
R R e F ( A ) = [ 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ] N × R
Säulen mit Pivot 1 sind linear unabhängig, und das Eliminieren von Nicht-Pivot-Zeilen (mit Nullen) wirkt sich nicht auf die Linearität der Spaltenvektoren aus. dh, Eliminieren von Reihen von A entsprechend Nonpivot-Zeilen von R R e F ( A ) wird die Linearität entsprechender Spaltenvektoren nicht beeinflussen

Tipp: Lass A bezeichnen ein N × k Matrix, mit N ≥ k . Die Spalten von A genau dann linear unabhängig sind, wenn das System A X = 0 hat eine einzigartige Lösung.

Lassen e 1 , … , e N bezeichnen die Spalten der N × N Identitätsmatrix. Lassen J bezeichnen ein N × k Matrix, deren Spalten aus der Menge genommen werden { e 1 , … , e N } . Beachten Sie, dass wenn ( J A ) X = 0 eine eindeutige Lösung hat, dann auch A X = 0 .

Ich habe versucht, mein OP zu aktualisieren, könnten Sie bitte einen Blick darauf werfen?
Lineare Unabhängigkeit von Vektoren und Moll von Matrizen
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v