Ist detdet\det von Mi,j=min(xi,xj)2(3max(xi,xj)−min(xi,xj))Mi,j=min(xi,xj)2(3max(xi,xj)− min(xi,xj))M_{i,j} = \min(x_i, x_j)^2 \left( 3 \max(x_i, x_j) - \min(x_i, x_j) \right) ungleich Null?

Lassen 0 < X 1 < X 2 < . . . < X N < 1 . Betrachten wir die Matrix M, die so definiert ist, dass:

M ich , J = Mindest ( X ich , X J ) 2 ( 3 max ( X ich , X J ) − Mindest ( X ich , X J ) )

Ich glaube , dass die Determinante von M von Null verschieden ist. Irgendeine Idee, wie man es beweisen kann ( falls wahr )?

Natürlich würde jeder Grund, warum M invertierbar wäre, auch zu mir passen, keine wirkliche Notwendigkeit, die Formel der Determinante zu bekommen.

Antworten (3)

Yuvals Lösung ließ einen Exponenten fallen; Dies ist leicht zu erkennen, da sein erster Ausdruck 6. Grad ist und der spätere nur 5. Grad ist. Es sollte sein

X ich 3 ( 4 X 2 − X 1 ) ( X 2 − X 1 ) 2 .
Aber seine Schlussfolgerung gilt immer noch; die Behauptung ist eindeutig wahr für N = 2 .

Für den allgemeinen Fall kann es hilfreich sein, sich daran zu erinnern, dass dies eine symmetrische Matrix ist und alle symmetrischen Matrizen diagonalisiert werden können. Außerdem, da du das eingeschränkt hast X ich in streng aufsteigender Reihenfolge sein, alle Mindest Und max Zeug geht zu M ich , J = X ich 2 ( 3 X J − X ich ) = 3 X ich 2 X J − X ich 3 wann immer ich ≤ J . Daran erkennt man sofort ( D X ich − D X J ) ( X ich 3 X J ) , Wo D ist der Differentialoperator. Ich weiß nicht, ob eine dieser Tatsachen hilfreich ist, aber es scheint auf jeden Fall verdächtig. Sie könnten versuchen zu zeigen, dass alle Eigenwerte immer positiv sind, was bedeuten würde, dass die Matrix positiv definit ist (was nichtsingulär bedeutet).

Du meinst "Nicht-Singular implizieren"?
ähm... ja, tut mir leid, ich war gegen Ende nur verwirrt.
Wirklich interessante Bemerkung über den Differentialoperator.

Ich habe für n <= 8 verifiziert, dass die Matrizen alle positiv definit (und insbesondere nichtsingulär) sind.

Vielleicht hat die PSD-Quadratwurzel eine schöne Form?

Dies überprüft für N = 2 . Die Determinante ist dann [danke, Paul Z]

4 X 1 3 X 2 3 − X 1 4 ( 3 X 2 − X 1 ) 2 = − X 1 3 ( X 1 − 4 X 2 ) ( X 1 − X 2 ) 2 .
Wenn 0 < X 1 = 4 X 2 dann klar X 2 < X 1 .

Beachten Sie, dass die Bestellung bzw. die X ich spielt keine Rolle (solange sie alle unterschiedlich sind) und die obere Grenze 1 macht keinen Unterschied, da alles homogen ist (wenn Sie alles mit einer Konstanten multiplizieren, bleibt die Regelmäßigkeit / Singularität Ihrer Matrix gleich).

Der nächste Schritt wäre, die explizite Berechnung für zu wiederholen N = 3 , und versuchen Sie es entweder zu faktorisieren oder numerisch ein Gegenbeispiel zu finden.

Ist detdet\det von Mi,j=min(xi,xj)2(3max(xi,xj)−min(xi,xj))Mi,j=min(xi,xj)2(3max(xi,xj)− min(xi,xj))M_{i,j} = \min(x_i, x_j)^2 \left( 3 \max(x_i, x_j) - \min(x_i, x_j) \right) ungleich Null?
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