Ich lese ein Lehrbuch der linearen Algebra und bin etwas verwirrt über das Konzept der unterbestimmten Systeme :
Erstens wissen wir das für jeden Vektor In das unterbestimmte lineare System ist entweder inkonsistent oder hat unendlich viele Lösungen. Gibt es also einige Sätze, die uns sagen, wann das System inkonsistent ist und wann es unendlich viele Lösungen hat?
Zweitens, wenn ein unterbestimmtes lineares System unendlich viele Lösungen hat, ist garantiert, dass eine positive Lösung (alle Elemente in sind positiv) existiert?
Es wäre sehr dankbar, wenn jemand eine Erklärung dazu geben könnte.
Es gibt tatsächlich einen Satz:
Das lineare System hat genau dann eine Lösung, wenn die Matrix und die erweiterte Matrix gleichen Rang haben. Wenn dies der Fall ist, ist der gemeinsame Rang die Kodimension des (affinen) Teilraums von Lösungen.
Sie können die Zeilenreduktion verwenden, um eine Basis für den durch gegebenen Unterraum zu bestimmen . Dann müssen Sie prüfen, ob liegt in der Spannweite dieses Unterraums. Eine einfache Möglichkeit, dies zu berechnen, besteht darin, das zu überprüfen Und verkettet mit haben die gleiche Rang-für-Reihen-Reduktion.
Beachten Sie bei den positiven Werten, dass eine Änderung der Basis die Vorzeichen ändern kann. Zum Beispiel im wenn wir die Spannweite von betrachten Und In Bezug auf die kanonische Basis können wir die positiven und negativen Teile nicht mit linearen Operationen trennen, aber wenn wir diese beiden Vektoren als Basisvektoren wählen, können Sie sie mit streng positiven Koeffizienten ausdrücken.
Peter
Peter