Was ist mein Fehler in dieser Determinante der Ordnung nnn?

Betrachten Sie reelle Zahlen A ich , B ich ∈ R und die folgende Determinante

a N = | A 1 + B 1 B 1 B 1 B 1 ⋯ B 1 B 2 A 2 + B 2 B 2 B 2 ⋯ B 2 B 3 B 3 A 3 + B 3 B 3 ⋯ B 3 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ B N B N B N B N ⋯ A N + B N |
Mein Versuch war, Spalte 1 durch Spalte 1 - Spalte 2 zu ersetzen ( C 1 → C 1 − C 2 ) . Machen Sie dann dasselbe mit anderen Spalten: C 2 → C 2 − C 3 ,..., C N → C N − C 1 . Nach all diesen Transformationen entsteht diese Determinante
a N = | A 1 0 0 0 ⋯ − A 1 − A 2 A 2 0 0 ⋯ 0 0 − A 3 A 3 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ A N |
So scheint es a N hängt nur davon ab A ich . Allerdings Berechnung des Falles N = 2 , gibt
a 2 = | A 1 + B 1 B 1 B 2 A 2 + B 2 | = A 1 A 2 + A 1 B 2 + A 2 B 1 .
Was mache ich falsch? Wie kann ich eine geschlossene Form für berechnen a N ? Vielen Dank im Voraus.

Die letzte Operation am C N scheint nicht richtig, wie C 1 wurde vorher geändert.
Danke für deinen Kommentar!

Antworten (2)

Da Ihr Fehler bereits in anderen Antworten geklärt wurde, wird hier nur ein Hinweis zur Lösung gegeben.

Ich werde annehmen A ich ≠ 0 . Beachten Sie, dass Ihre Matrix folgende Form hat:

a = A + u T v ,
Wo
A = diag ⁡ ( A 1 , A 2 , … , A N ) , u = ( B 1 , B 2 , … , B N ) , v = ( 1 , 1 , … , 1 ) .
Dann durch Matrixdeterminantenlemma :
det ( a ) = ( 1 + v A − 1 u T ) det ( A ) = ( 1 + ∑ ich B ich A ich ) ∏ ich A ich .

Dies beantwortet meine 2. Frage auf sehr schöne Weise. Danke schön! +1

Beachten Sie, dass es bei der Durchführung von Zeilen- oder Spaltenoperationen an Determinanten erforderlich ist, mindestens eine Spalte/Zeile beizubehalten, wir können nicht alle auf einmal ändern.

In Ihrem Fall können Sie das nicht C N → C N − C 1 .

Vielen Dank für Ihre Antwort!
Was ist mein Fehler in dieser Determinante der Ordnung nnn?
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