Geometrische Visualisierung für das Volumen eines Parallelepipeds

Ich bin mir nicht sicher, ob es eine intuitive Möglichkeit gibt, eine Volumenberechnung als lineare Kombination von Flächen zu visualisieren, außer in dem Fall, in dem Sie dies bereits getan haben. Es ist nur die

Aber ich würde Sie ermutigen, in die andere Richtung zu gehen und von diesem Fall zum allgemeineren überzugehen. Es gibt eine Drehung des Raums, die bringt$v$Und$w$in die$xy$-Ebene. Diese Rotation bewahrt Determinanten. Die Volumenformel muss also gleich sein.

Intuitiv ist Volumen dem Raum ein wenig eigensinniger als die Achsen oder Koordinaten, die wir installieren, um den Raum zu beschreiben. So können wir unsere Koordinaten/Achsen auswählen, um die Visualisierung bequem zu gestalten.

Betrachten Sie zunächst den Fall eines Quaders. Die drei Kanten sind orthogonal zueinander. Stellen wir diese Kanten als Spalten einer Matrix dar$A$.

Jetzt$A^T$wird die Zeilen als diese Kanten haben und beide multiplizieren, erhalten wir,

Das gibt

Jetzt$det(A^TA)$ist Produkt von Diagonalelementen für eine Diagonalmatrix und wir erhalten$det(A) = l_1^2l_2^2l_3^2$

Aber wir wissen, dass das Volumen des Quaders ist$l_1l_2l_3$Und$det(A^T) = det(A)$. Also bekommen wir

Wenn nun die Kanten nicht orthogonal zueinander sind, erhalten wir ein Parallelepiped.

Wo$q_i$sind die Projektionsvektoren auf die Kanten, so dass$e_i-q_i$wird senkrecht zur Kante ausgeführt$e_{i-1}$. Nun werden diese neuen Vektoren orthogonal zueinander gemacht, während der Determinantenwert beibehalten wird, der die Determinante der Kantenmatrix angibt, das Volumen des Parallelepipeds ergibt und auf eine beliebige Anzahl von Dimensionen erweitert werden kann.