Die einfachste skalare Gleichung, um zu bestimmen, ob Vektoren in R3R3\mathbb R^3 linear abhängig sind

Lass uns haben 3 Vektoren ein R 3 :

( A 1 , B 1 , C 1 ) , ( A 2 , B 2 , C 2 ) Und ( A 3 , B 3 , C 3 )

Diese Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn die folgende Skalargleichung gilt:

A 1 ( B 2 C 3 − B 3 C 2 ) − B 1 ( A 2 C 3 − A 3 C 2 ) + C 1 ( A 2 B 3 − A 3 B 2 ) = 0

  • Diese Gleichung ist eine notwendige und hinreichende Bedingung der linearen Abhängigkeit.
  • Dieses Kriterium ist eine Skalargleichung (kein Gleichungspaar; keine Vektorform).
  • Diese Gleichung ist eine lineare Gleichung bzgl ( A ich , B ich , C ich ) für alle ich ∈ { 1 , 2 , 3 } .

Jetzt lassen Sie uns haben 2 Saiten ein R 3 :

( A 1 , B 1 , C 1 ) Und ( A 2 , B 2 , C 2 )

Gibt es eine ähnliche Methode, um festzustellen, ob dieser Satz von Vektoren in R 3 ist linear abhängig?

Dh der Weg wie die folgende Skalargleichung:

F ( A 1 , B 1 , C 1 , A 2 , B 2 , C 2 ) = 0

so dass

  • Diese Gleichung ist eine notwendige und hinreichende Bedingung der linearen Abhängigkeit.
  • Dieses Kriterium ist eine Skalargleichung (kein Gleichungspaar; keine Vektorform).
  • Diese Gleichung ist eine lineare Gleichung bzgl ( A ich , B ich , C ich ) für alle ich ∈ { 1 , 2 } .
Kennen Sie Determinanten?
Zwei Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn einer ein skalares Vielfaches des anderen ist
@CTSnake Aber Sie können Ihre Aussage nicht verwenden, um mir die Gleichung in Bezug auf meine Beschreibung zu präsentieren. Dh eine einzelne Skalargleichung.
@saulspatz Natürlich tue ich das, aber Determinanten helfen nicht, die Gleichung in Bezug auf meine Beschreibung darzustellen
@xyz Entschuldigung. Ich habe deine Frage falsch verstanden.

Antworten (1)

Nein das ist nicht möglich. Nehmen wir an, wir haben einen solchen F die alle drei Ihrer Eigenschaften erfüllt. Korrigieren Sie einen Nicht-Null-Vektor ( A 2 , B 2 , C 2 ) und betrachte die Funktion ( A , B , C ) ↦ F ( A , B , C , A 2 , B 2 , C 2 ) . Nennen wir diese Funktion G : R 3 → R . Sie wollen G eine lineare Funktion sein und das G ( A , B , C ) = 0 iff ( A , B , C ) linear abhängig ( A 2 , B 2 , C 2 ) . Jedoch die Menge aller Vektoren, die linear abhängen ( A 2 , B 2 , C 2 ) ist ein Line-in R 3 (alles skalare Vielfache von ( A 2 , B 2 , C 2 ) ) während der Nullsatz einer linearen Funktion G ist entweder eine Ebene (wenn die Funktion nicht trivial ist) oder R 3 (wenn die Funktion identisch Null ist).

Wenn Sie jedoch bereit sind, Ihre Bedingungen zu lockern, können Sie bekommen, wonach Sie suchen. Die Vektoren ( A 1 , B 1 , C 1 ) Und ( A 2 , B 2 , C 2 ) genau dann linear abhängig sind, wenn die Matrix

A = ( A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 )
Rang hat ≤ 1 . Dies kann anhand von Determinanten überprüft werden. Die Matrix A Rang hat ≤ 1 wenn alle 2 × 2 Minderjährige haben die Determinante Null. Dies gibt Ihnen drei lineare Gleichungen (keine skalare Gleichung), die Ihnen eine ausreichende und notwendige Bedingung für die lineare Abhängigkeit geben:
A 1 B 2 − B 1 A 2 = 0 , A 1 C 2 − C 1 A 2 = 0 , B 1 C 2 − C 1 B 2 = 0.

Wenn Sie möchten, können Sie sie zu einer einzigen Gleichung kombinieren

F ( A 1 , B 1 , C 1 , A 2 , B 2 , C 2 ) = ( A 1 B 2 − B 1 A 2 ) 2 + ( A 1 C 2 − C 1 A 2 ) 2 + ( B 1 C 2 − C 1 B 2 ) 2 = 0.
Dies jedoch F ist nicht linear ( A 1 , B 1 , C 1 ) (oder drin ( A 2 , B 2 , C 2 ) ).

Es könnte einfacher sein, das Argument im Fall eines Vektors zu sehen R 2 (anstelle von zwei Vektoren in R 3 ). Ein einzelner Vektor ( A , B ) In R 2 ist "linear abhängig" dw A = B = 0 was Ihnen zwei skalare lineare Gleichungen gibt. Sie können sie zu einer einzigen Gleichung kombinieren A 2 + B 2 = 0 aber das ist nicht linear in ( A , B ) .

Vielen Dank. Ich bin überrascht, dass die lineare Abhängigkeit von 3 Vektoren "einfacher" zu bestimmen ist als die lineare Abhängigkeit von 2 Vektoren. Gibt es verallgemeinerte Definitionen der Determinante auf 3x2-Matrizen, sodass Det(A)=0 ein Unabhängigkeitskriterium ist?
@xyz: Die Teilmenge von N linear abhängige Vektoren in R N × ⋯ × R N hat "Dimension" N 2 − 1 (als singuläre Varietät) und so kann man es als Nullstelle einer einzelnen Gleichung (der Determinante) beschreiben. Andererseits ist die Teilmenge der linear abhängigen Vektorpaare in R 3 × R 3 Dimension hat 4 Während der Ambinet-Raum die Dimension 6 hat, benötigen Sie lokal mindestens zwei Gleichungen und keine Skalargleichung, definitiv keine lineare. Ich bin nicht mit verallgemeinerten Definitionen von Determinanten vertraut, die Ihnen geben, was Sie wollen.
Die einfachste skalare Gleichung, um zu bestimmen, ob Vektoren in R3R3\mathbb R^3 linear abhängig sind
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