Für orthonormale Vektoren a,b∈R3a,b∈R3a,b\in\mathbb{R}^3 beweise det[aba×b]=1det[aba×b]=1\det\begin{bmatrix} a & b & a \times b \end{bmatrix} = 1.

Lassen$a = (a_1, a_2, a_3)$Und$b = (b_1, b_2, b_3)$seien zwei orthonormale Vektoren in$\mathbb{R}^3$Und$a \times b \in \mathbb{R}^3$ihr Kreuzprodukt.

Ich möchte durch direkte Rechnung beweisen, dass die Matrix$A = \begin{bmatrix} a & b & a \times b \end{bmatrix}$Vektoren haben$a, b$Und$a \times b$da seine Spalten eine Determinante haben$1$.

Das könnten wir zum Beispiel beobachten$A$stellt eine Transformation von einer orthonormalen Basis dar$\{e_1, e_2, e_3\}$zu einer orthonormalen Basis$\{a, b, a \times b\}$was als eine Komposition aus zwei Rotationen erreicht werden könnte (eine rotierende$e_3$Zu$a \times b$, und eine weitere um die Achse$a \times b$ausrichten$\{e_1, e_2\}$mit$\{a, b\}$) und hat daher Determinante$1$. Solche Ansätze interessieren mich nicht .

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Mein Versuch:

Wir haben$a\times b = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_2b_2 - a_2b_1\end{pmatrix}$.

Daher:

$$\begin{align} \det A &= \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_2 & b_2 & a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_3 & b_3 & a_1b_2 - a_2b_1 \\ \end{vmatrix} \\ &= \text{Laplace expansion along the first column}\\ &= a_1 \begin{vmatrix} b_2 & a_3b_1 - a_1b_3 \\ b_3 & a_1b_2 - a_2b_1 \\ \end{vmatrix} - a_2 \begin{vmatrix} b_1 & a_2b_3 - a_3b_2 \\ b_3 & a_1b_2 - a_2b_1 \\ \end{vmatrix} + a_3 \begin{vmatrix} b_1 & a_2b_3 - a_3b_2 \\ b_2 & a_3b_1 - a_1b_3 \\ \end{vmatrix} \\ &= a_1 \big(a_1{b_2}^2 - a_2b_1b_2 - a_3b_1b_3 + a_1{b_3}^2\big) - a_2\big(a_1b_1b_2 - a_2{b_1}^2 - a_2{b_3}^2 + a_3b_2b_3\big) + a_3\big(a_3{b_1}^2 - a_1b_1b_3 - a_2b_2b_3 + a_3{b_2}^2\big) \\ &= \color{red}{{a_1}^2{b_2}^2} - \color{green}{a_1a_2b_1b_2} - a_1a_3b_1b_3 + \color{red}{{a_1}^2{b_3}^2} - \color{green}{a_1a_2b_1b_2} + \color{blue}{{a_2}^2{b_1}^2} + \color{blue}{{a_2}^2{b_3}^2} - a_2a_3b_2b_3 + {a_3}^2{b_1}^2 - a_1a_3b_1b_3 - a_2a_3b_2b_3 + {a_3}^2{b_2}^2 \\ &= \color{red}{{a_1}^2({b_2}^2 + {b_3}^2)} - \color{green}{2a_1a_2b_1b_2} - 2a_1a_3b_1b_3 + \color{blue}{{a_2}^2({b_1}^2+{b_3}^2)} - 2a_2a_3b_2b_3 + {a_3}^2({b_1}^2 + {b_2}^2) \\ \end{align}$$

Jetzt konnten wir verwenden${b_1}^2 + {b_2}^2 + {b_3}^2 = 1$aber von diesem Punkt an scheint sich nichts zu vereinfachen. Irgendwann müssen wir auch Orthogonalität verwenden. Wie sollen wir vorgehen?