Wie ergibt die Berechnung der Determinante einer Matrix mit Einheitsvektoren das Kreuzprodukt?

Question

Wie ergibt die Berechnung der Determinante einer Matrix mit Einheitsvektoren das Kreuzprodukt?

BoddTaxter

Sagen Sie, Sie hatten $(a_x,a_y,a_z)\times(b_x,b_y,b_z)$ , würden Sie eine Matrix wie die folgende einrichten:

Und das Ergebnis wäre Ihr Kreuzprodukt oder die Koordinaten eines orthogonalen Vektors. Meine Frage ist warum? Warum gibt Ihnen die Formgebung auf diese Weise die Größe eines orthogonalen Vektors und wie hängt er mit dem zusammen? $\sin(\theta)$ Definition von Kreuzprodukt.

David K

Siehe auch math.stackexchange.com/questions/22/… , obwohl diese Frage und ihre Antworten nur den orthogonalen Vektorteil dieser Frage berühren, nicht den

\sin (θ)

$\sin(\theta)$ Teil.

Jan

Für mich gibt es wirklich drei Fragen, die uns sagen, warum das Kreuzprodukt so ist, wie es ist: 1. Auf welcher Linie sollte das Kreuzprodukt liegen? 2. Wie lang sollte das Kreuzprodukt sein? 3. Welche Vorzeichenkonvention sollten wir verwenden? Die erste ist die wichtigste Tatsache über das Kreuzprodukt: Es liegt auf der Linie senkrecht zu beiden Eingabevektoren. Bei gegebener erster Antwort wird die zweite Antwort bestimmt, indem gefordert wird, dass das Kreuzprodukt zweier rechtwinkliger Einheitsvektoren ein Einheitsvektor ist. Die dritte Antwort ist die Rechte-Hand-Regel, die viel willkürlicher ist als die ersten beiden Antworten.

Christian Blatter

Diese Definition des Kreuzprodukts entwertet definitiv den Begriff der Determinante und sollte abgeschafft werden. Außerhalb von "Schaum's Outline" (das schon als Student in den fünfziger Jahren des letzten Jahrhunderts veraltet war) und ähnlichen Texten sollten alle Elemente einer Matrix vom gleichen Typ sein.

David K

@ChristianBlatter Danke für den Hinweis auf das Problem mit dieser Notation. Als ich es zum ersten Mal sah, dachte ich, es würde versuchen, die Determinante von a zu nehmen

5 \times 3

$5\times3$ Matrix (deren erste drei Zeilen sind

I_{3}

$I_3$ ).

David K

Wir haben unten einige gute Antworten, und ich sehe keine weiteren Bitten um Klärung, also ist es fair zu sagen, dass die Frage beantwortet wurde? Wenn ja, empfehle ich, eine der Antworten zu "akzeptieren". (Du entscheidest welche.)

Antworten (4)

Wie ergibt die Berechnung der Determinante einer Matrix mit Einheitsvektoren das Kreuzprodukt?

Siehe auch math.stackexchange.com/questions/22/… , obwohl diese Frage und ihre Antworten nur den orthogonalen Vektorteil dieser Frage berühren, nicht den $\sin(\theta)$ Teil.
Für mich gibt es wirklich drei Fragen, die uns sagen, warum das Kreuzprodukt so ist, wie es ist: 1. Auf welcher Linie sollte das Kreuzprodukt liegen? 2. Wie lang sollte das Kreuzprodukt sein? 3. Welche Vorzeichenkonvention sollten wir verwenden? Die erste ist die wichtigste Tatsache über das Kreuzprodukt: Es liegt auf der Linie senkrecht zu beiden Eingabevektoren. Bei gegebener erster Antwort wird die zweite Antwort bestimmt, indem gefordert wird, dass das Kreuzprodukt zweier rechtwinkliger Einheitsvektoren ein Einheitsvektor ist. Die dritte Antwort ist die Rechte-Hand-Regel, die viel willkürlicher ist als die ersten beiden Antworten.
Diese Definition des Kreuzprodukts entwertet definitiv den Begriff der Determinante und sollte abgeschafft werden. Außerhalb von "Schaum's Outline" (das schon als Student in den fünfziger Jahren des letzten Jahrhunderts veraltet war) und ähnlichen Texten sollten alle Elemente einer Matrix vom gleichen Typ sein.
@ChristianBlatter Danke für den Hinweis auf das Problem mit dieser Notation. Als ich es zum ersten Mal sah, dachte ich, es würde versuchen, die Determinante von a zu nehmen $5\times3$ Matrix (deren erste drei Zeilen sind $I_3$ ).
Wir haben unten einige gute Antworten, und ich sehe keine weiteren Bitten um Klärung, also ist es fair zu sagen, dass die Frage beantwortet wurde? Wenn ja, empfehle ich, eine der Antworten zu "akzeptieren". (Du entscheidest welche.)

robjohn · Answer 1

Die Determinante von a $3\times3$ Matrix kann als das dreifache Produkt ihrer Spalten (oder Zeilen) angesehen werden:

\begin{aligned} det [\begin{matrix} X_{1} & j_{1} & z_{1} \\ X_{2} & j_{2} & z_{2} \\ X_{3} & j_{3} & z_{3} \end{matrix}] & = [\begin{matrix} X_{1} \\ X_{2} \\ X_{3} \end{matrix}] \times [\begin{matrix} j_{1} \\ j_{2} \\ j_{3} \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} z_{1} \\ z_{2} \\ z_{3} \end{matrix}] \\ (1) & = [\begin{matrix} (X \times j)_{1} \\ (X \times j)_{2} \\ (X \times j)_{3} \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} z_{1} \\ z_{2} \\ z_{3} \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{align} \det\begin{bmatrix} x_1&y_1&z_1\\ x_2&y_2&z_2\\ x_3&y_3&z_3 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} y_1\\ y_2\\ y_3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} z_1\\ z_2\\ z_3 \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} (x\times y)_1\\ (x\times y)_2\\ (x\times y)_3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} z_1\\ z_2\\ z_3 \end{bmatrix}\tag{1} \end{align}$ Wenn wir ersetzen

[\begin{matrix} z_{1} \\ z_{2} \\ z_{3} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} z_1\\ z_2\\ z_3 \end{bmatrix}$ In

(1)

$(1)$ von

[\begin{matrix} i \\ j \\ k \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \boldsymbol{i}\\ \boldsymbol{j}\\ \boldsymbol{k} \end{bmatrix}$ , wir bekommen

\begin{aligned} det [\begin{matrix} X_{1} & j_{1} & ich \\ X_{2} & j_{2} & J \\ X_{3} & j_{3} & k \end{matrix}] & = [\begin{matrix} (X \times j)_{1} \\ (X \times j)_{2} \\ (X \times j)_{3} \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} ich \\ J \\ k \end{matrix}] \\ = (X \times j)_{1} ich + (X \times j)_{2} J + (X \times j)_{3} k \\ (2) & = X \times j \end{aligned}

$\begin{align} \det\begin{bmatrix} x_1&y_1&\boldsymbol{i}\\ x_2&y_2&\boldsymbol{j}\\ x_3&y_3&\boldsymbol{k} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} (x\times y)_1\\ (x\times y)_2\\ (x\times y)_3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \boldsymbol{i}\\ \boldsymbol{j}\\ \boldsymbol{k} \end{bmatrix}\\[6pt] &=(x\times y)_1\boldsymbol{i}+(x\times y)_2\boldsymbol{j}+(x\times y)_3\boldsymbol{k}\\[18pt] &=x\times y\tag{2} \end{align}$

mvw · Answer 2

Und das Ergebnis wäre Ihr Kreuzprodukt oder die Koordinaten eines orthogonalen Vektors. Meine Frage ist warum? Warum gibt Ihnen die Formgebung auf diese Weise die Größe eines orthogonalen Vektors?

Ihre letzte Gleichung kann geschrieben werden als

(A \times B)_{ich} = ϵ_{ich J k} A_{J} B_{k} (1)

$(a \times b)_i = \epsilon_{ijk} a_j b_k \quad (1)$ Wo

ϵ_{i j k}

$\epsilon_{ijk}$ ist der schiefsymmetrische oder Levi-Civita-Tensor und es wird die Einstein-Summierungskonvention verwendet (wir summieren über dieselben Indizes, hier:

j

$j$ Und

k

$k$ , jeweils aus

1

$1$ Zu

3

$3$ ).

Wenn das Tupel $(i,j,k)$ besteht aus verschiedenen Zahlen aus $\{1, 2, 3\}$ , also ist es eine Permutation von $(1,2,3)$ , es ist als Zeichen der Permutation definiert $\pm1$ , sonst verschwindet es.

Das Obige ist also die kompakte Notation für

\begin{aligned} (A \times B)_{1} & = ϵ_{123} A_{2} B_{3} + ϵ_{132} A_{3} B_{2} = A_{2} B_{3} - A_{3} B_{2} \\ (A \times B)_{2} & = ϵ_{231} A_{3} B_{1} + ϵ_{213} A_{1} B_{3} = A_{3} B_{1} - A_{1} B_{3} \\ (A \times B)_{3} & = ϵ_{312} A_{1} B_{2} + ϵ_{321} A_{2} B_{1} = A_{1} B_{2} - A_{2} B_{1} \end{aligned}

$\begin{align} (a \times b)_1 &= \epsilon_{123} a_2 b_3 + \epsilon_{132} a_3 b_2 = a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ (a \times b)_2 &= \epsilon_{231} a_3 b_1 + \epsilon_{213} a_1 b_3 = a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ (a \times b)_3 &= \epsilon_{312} a_1 b_2 + \epsilon_{321} a_2 b_1 = a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{align}$

Vergleichen Sie dies mit der Definition der Determinante , die in sich eine alternierende multilineare Form ist $n$ Argumente:

det A = det (A_{1}, \dots, A_{N}) = ϵ_{{ich}_{1} {ich}_{2} \dots {ich}_{N}} A_{1 {ich}_{1}} A_{2 {ich}_{2}} \dots A_{N {ich}_{N}} (2)

$\det A = \det(a_1, \dotsc, a_n) = \epsilon_{i_1 i_2 \dotsm i_n} a_{1 i_1} a_{2 i_2} \dotsm a_{n i_n} \quad (2)$ Es ist die vorzeichenbehaftete Summe aller Permutationen der Komponenten.

So kommt es tatsächlich vor

det (e_{ich}, A, B) = e_{ich} \cdot (A \times B) = (A \times B)_{ich} (3)

$\det(e_i, a, b) = e_i \cdot (a \times b) = (a \times b)_i \quad (3)$ Wo

e_{i}

$e_i$ ist der

i

$i$ -th kanonischer Basisvektor

\begin{aligned} e_{1} = (1, 0, 0)^{T} \\ e_{2} = (0, 1, 0)^{T} \\ e_{3} = (0, 0, 1)^{T} \end{aligned}

$\begin{align} e_1 = (1, 0, 0)^T \\ e_2 = (0, 1, 0)^T \\ e_3 = (0, 0, 1)^T \end{align}$

Das von Ihnen verwendete Formular verwendet die Regel von Sarrus , um die Determinante zu berechnen, die nur für drei Dimensionen gilt. Gleichung $(2)$ gilt für beliebige Dimensionen.

Die Definition des Vektorprodukts, Gleichung $(1)$ , besteht aus vorzeichenbehafteten Summen von Permutationen der beteiligten Vektorkomponenten und der Definition der Determinante $(2)$ verwendet auch die vorzeichenbehaftete Summe von Permutationen seiner Argumentkomponenten. So kommt es, dass man ein Vektorprodukt als Determinante definieren kann.

und wie hängt es mit der zusammen $\sin(\theta)$ Definition von Kreuzprodukt.

Du meinst wahrscheinlich

“ A \times B “ = “ A “ “ B “ Sünde ∠ (A, B) (4)

$\lVert a \times b \rVert = \lVert a \rVert \lVert b \rVert \sin\angle(a, b) \quad (4)$ Diese ergibt sich aus dem Tripelprodukt

A \cdot (B \times C) = det (A, B, C)

$a \cdot (b \times c) = \det(a, b, c)$ was als Determinante ausgedrückt werden kann, wir haben es oben mit dem verwendet

i

$i$ -th kanonischer Basisvektor für Gleichung

(3)

$(3)$ . Die Determinante gibt das Volumen des Parallelepipeds an (denken Sie an den Turm von Pisa für einen Kartenstapel), das von den Vektoren gebildet wird

a, b, c

$a, b, c$ .

Daraus kann man eine Gleichung ableiten $(4)$ .

Daniel Düsentrieb · Answer 3

Wenn Sie die Berechnung aus dem rechten Winkel betrachten, berechnen Sie einen neuen Vektor im dualen Raum , so dass $\vec a \times \vec b$ bildet jeden Vektor ab $\vec c$ Zu $\mathbb R$ (oder $\mathbb C$ ), in einer Weise dass $\det(\vec c, \vec a,\vec b)=(\vec a\times\vec b)\cdot \vec c$ .

Sie können dies sehen, indem Sie ersetzen $(i,j,k)$ von $(c_1, c_2, c_3)$ . Alles weitere ergibt sich aus den Eigenschaften von $\det$ .

Besonders $\vec a\times\vec b$ ist orthogonal zu $\vec a$ Weil $\det(\vec a, \vec a, \vec b)=0$ , ähnlich für $\vec b$ .

David Quinn · Answer 4

Beginnen Sie mit der Definition von Kreuzprodukt als

\underline{A} \times \underline{B} = | \underline{A} | | \underline{B} | Sünde θ \underline{\hat{N}},

$\underline{a}\times\underline{b}=|\underline{a}||\underline{b}|\sin \theta \underline{\hat{n}},$ Wo

θ

$\theta$ ist der Winkel dazwischen

\underline{a}

$\underline{a}$ Und

\underline{b}

$\underline{b}$ Und

\underline{\hat{n}}

$\underline{\hat{n}}$ ist der Einheitsvektor senkrecht zu

\underline{a}

$\underline{a}$ Und

\underline{b}

$\underline{b}$ im Sinne eines rechten Dreiklangs ' dann folgt aus dieser Definition:

$\underline{i}\times\underline{j}=0=\underline{j}\times\underline{j}=\underline{k}\times\underline{k}$

2. $\underline{i}\times\underline{j}=\underline{k}$ Und $\underline{j}\times\underline{k}=\underline{i}$ Und $\underline{k}\times\underline{i}=\underline{j}$

Stehen die Buchstaben in antizyklischer Reihenfolge, ist das Ergebnis entsprechend negativ, also z. $\underline{j}\times\underline{i}=-\underline{k}$ usw.

Wenn wir also die Distributivität des Kreuzprodukts annehmen (hier nicht bewiesen), dann ergibt das Kreuzprodukt der beiden Vektoren genau das gleiche Ergebnis, das Sie bei der Auswertung der Determinante erhalten.

Wie ergibt die Berechnung der Determinante einer Matrix mit Einheitsvektoren das Kreuzprodukt?

BoddTaxter

David K

Jan

Christian Blatter

David K

David K

Antworten (4)

robjohn

mvw

Daniel Düsentrieb

David Quinn

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