Lineare Operatoren, die die Norm des Kreuzprodukts beibehalten

Question

Lineare Operatoren, die die Norm des Kreuzprodukts beibehalten

Lukas

$\times: \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R^3} \to \mathbb{R}^3$ Kreuzprodukt. Finden Sie alle linearen Operatoren $T: \mathbb{R^3} \to \mathbb{R}^3$ so dass:

“ T (u) \times T (v) “ = “ u \times v “

$\|T(u) \times T(v)\|=\|u \times v\|$

Kann mir jemand einen Tipp zum Anfang geben, ich kann den Ort nicht verlassen.

Angina Seng

Du brauchst

T (e_{1})

$T(e_1)$ ,

T (e_{2})

$T(e_2)$ Und

T (e_{3})

$T(e_3)$ eine orthogonale Triade von Einheitsvektoren sein, positiv orientiert.

Benutzer251257

@LordSharktheUnknown bist du dir über die Ausrichtung sicher?

JG

Meinen Sie mit Anwendungen lineare Operatoren?

Lukas

@JG ja, lineare Transformationen

Antworten (3)

Lineare Operatoren, die die Norm des Kreuzprodukts beibehalten

Du brauchst $T(e_1)$ , $T(e_2)$ Und $T(e_3)$ eine orthogonale Triade von Einheitsvektoren sein, positiv orientiert.
@LordSharktheUnknown bist du dir über die Ausrichtung sicher?

Benutzer251257 · Answer 1

Beachten Sie, dass ein Singular $T$ erfüllt die Gleichung nicht für alle $u$ Und $v$ : Da es eine $u_0$ mit $Tu_0 = 0$ Und $\|u_0\| = 1$ . Erweitern $u_0$ zu einer orthonormalen Basis $\{u_0, v, w\}$ und das bekommst du

“ T u_{0} \times T v “ = 0 \neq 1 = “ u_{0} \times v “ .

$\|Tu_0 \times Tv\| = 0 \ne 1 = \|u_0 \times v\|.$ Daher,

T

$T$ muss invertierbar sein.

Für ein invertierbares $T$ Sie haben folgende Identität (vgl. Wikipedia , oder Nachweis auf Seite 11 ):

T u \times T v = (det T) (T^{- 1})^{T} (u \times v) .

$Tu\times Tv = (\det T)(T^{-1})^t(u\times v).$

Mit dem Fahrrad $u\times v$ durch $e_1,e_2,e_3$ , das bekommst du $M = (\det T)(T^{-1})^t$ ist orthogonal. Insbesondere haben wir

\pm 1 = det M = (det T)^{3} (det T)^{- 1} = (det T)^{2} .

$\pm 1 = \det M = (\det T)^3 (\det T)^{-1} = (\det T)^2.$ Das ist,

T

$T$ selbst muss eine orthogonale Matrix sein.

Nun nehme an $T$ eine orthogonale Matrix sein. Dann für jeden $u,v$ wir haben

“ T u \times T v “ = “ \pm 1 (T^{T})^{T} (u \times v) “ = “ u \times v “ .

$\|Tu \times Tv\| = \|\pm 1 (T^t)^t (u \times v)\| = \|u\times v\|.$ Das heißt, es ist auch ausreichend, dass

T

$T$ ist orthogonal.

Kennen Sie eine kurze Demo für diese Identität oder müssen Sie wirklich Konten eröffnen?
@Lucas: Ich habe die Antwort mit einem Link zum Beweis erweitert
Dies zeigt, dass wenn $T$ ist dann wie im OP $T \in \mathbb{R} O(3)$ . Sollten wir das nicht auch zeigen, wenn $T \in \mathbb{R} O(3)$ , Dann $T$ hat die gewünschte Eigenschaft? Ich denke, wenn wir das überprüfen, werden wir das tatsächlich finden $T \in O(3)$ , dh der Skalierungsfaktor muss sein $\pm 1$ .

Benutzer1551 · Answer 2

Zufälligerweise hat gestern jemand eine sehr ähnliche Frage gestellt . Da diese Frage allgemeiner ist und etwas anders formuliert ist als bei Ihnen, werde ich im Folgenden eine anders formulierte Antwort geben.

Aufgrund der gegebenen Bedingung und der Identität von Lagrange haben wir

\begin{aligned} det [(\begin{matrix} u^{⊤} \\ v^{⊤} \end{matrix}) T^{⊤} T (\begin{matrix} u & v \end{matrix})] & = det [(\begin{matrix} (T u)^{⊤} \\ (T v)^{⊤} \end{matrix}) (\begin{matrix} T u & T v \end{matrix})] \\ = “ T (u) \times T (v) “^{2} \\ = “ u \times v “^{2} \\ = det [(\begin{matrix} u^{⊤} \\ v^{⊤} \end{matrix}) (\begin{matrix} u & v \end{matrix})] \end{aligned}

$\begin{aligned} \det\left[\pmatrix{u^\top\\ v^\top}T^\top T\pmatrix{u&v}\right] &=\det\left[\pmatrix{(Tu)^\top\\ (Tv)^\top}\pmatrix{Tu&Tv}\right]\\ &=\|T(u) \times T(v)\|^2\\ &=\|u \times v\|^2\\ &=\det\left[\pmatrix{u^\top\\ v^\top}\pmatrix{u&v}\right] \end{aligned}$ für jeden

u, v \in R^{3}

$u,v\in\mathbb R^3$ . Seit

T^{⊤} T

$T^\top T$ positiv semidefinit ist, seine Eigenwerte

λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}

$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ sind nichtnegativ. Also, wenn

u

$u$ Und

v

$v$ sind zwei orthonormale Eigenvektoren von

T^{⊤} T

$T^\top T$ , die obige Gleichheit impliziert dies

λ_{i} λ_{j} = 1

$\lambda_i\lambda_j=1$ für jeden

i \neq j

$i\ne j$ . Daher entweder

λ_{1} = λ_{2} = λ_{3} = 1

$\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=1$ . Im Gegenzug

T^{⊤} T = I

$T^\top T=I$ , dh

T

$T$ reell orthogonal ist.

Umgekehrt, wenn $T$ ist dann reell orthogonal

\begin{aligned} “ T (u) \times T (v) “^{2} & = det [(\begin{matrix} (T u)^{⊤} \\ (T v)^{⊤} \end{matrix}) (\begin{matrix} T u & T v \end{matrix})] \\ = det [(\begin{matrix} u^{⊤} \\ v^{⊤} \end{matrix}) T^{⊤} T (\begin{matrix} u & v \end{matrix})] \\ = det [(\begin{matrix} u^{⊤} \\ v^{⊤} \end{matrix}) (\begin{matrix} u & v \end{matrix})] \\ = “ u \times v “^{2} . \end{aligned}

$\begin{aligned} \|T(u) \times T(v)\|^2 &=\det\left[\pmatrix{(Tu)^\top\\ (Tv)^\top}\pmatrix{Tu&Tv}\right]\\ &=\det\left[\pmatrix{u^\top\\ v^\top}T^\top T\pmatrix{u&v}\right]\\ &=\det\left[\pmatrix{u^\top\\ v^\top}\pmatrix{u&v}\right]\\ &=\|u \times v\|^2. \end{aligned}$

Francesco Bernini · Answer 3

Wenn die Norm die durch das kartesische Punktprodukt induzierte ist, können Sie die Norm in kartesischen Komponenten schreiben:

| | u \times v | | = \sqrt{ϵ_{ich J k} u_{J} v_{k} ϵ_{ich M N} u_{M} v_{N}}

$||u\times v||=\sqrt{\epsilon_{ijk}u_jv_k\epsilon_{imn}u_mv_n}$

Dann mit der Identität

ϵ_{ich J k} ϵ_{ich M N} = δ_{J M} δ_{k N} - δ_{J N} δ_{k M}

$\epsilon_{ijk}\epsilon_{imn}=\delta_{jm}\delta_{kn}-\delta_{jn}\delta_{km}$

Wir haben

| | u \times v | | = \sqrt{u_{ich} u_{ich} v_{J} v_{J} - u_{ich} v_{ich} u_{J} v_{J}}

$||u\times v||=\sqrt{u_iu_iv_jv_j-u_iv_iu_jv_j}$

Wenn die Transformation linear ist

T (u)_{ich} = R_{ich J} u_{J}

$T(u)_i=R_{ij}u_j$ So

| | T (u) \times T (u) | | = \sqrt{R_{ich k} R_{ich M} R_{J P} R_{J Q} (u_{k} u_{M} v_{P} v_{Q} - u_{k} v_{M} u_{P} v_{Q})}

$||T(u)\times T(u)||=\sqrt{R_{ik}R_{im}R_{jp}R_{jq}(u_ku_mv_pv_q-u_kv_mu_pv_q)}$

Damit dies gleich ist $||u\times v||$ es muss sein $R_{ik}R_{im}=\pm\delta_{km}$ , was meiner Meinung nach visualisiert werden kann $O(n)\times\mathbb Z_4$ , wie jede orthogonale Matrix multipliziert mit $\pm1,\pm i$ würde die Arbeit machen.

Bearbeiten: Wenn man bedenkt, dass die Anwendung von ist $\mathbb R^3$ nur an sich $O(n)$ reicht

Lineare Operatoren, die die Norm des Kreuzprodukts beibehalten

Lukas

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Charles Hudgins

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Francesco Bernini

Eindeutiges u∧vu∧vu\wedge v, so dass (u∧v)⋅w=∣∣∣∣∣u1v1w1u2v2w2u3v3w3∣∣∣∣∣(u∧v)⋅w=|u1u2u3v1v2v3w1w2w3|(u\wedge v)\cdot w = \small\begin{vmatrix} u_1&u_2&u_3 \\ v_1&v_2&v_3 \\ w_1&w_2&w_3 \end{vmatrix} für alle w∈R3w∈ℝ3w\inℝ^3

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