Kreuzprodukt in komplexen Vektorräumen

Um die richtige anzuwendende Definition zu finden, muss man wissen, ob das Skalarprodukt in seinem ersten oder seinem zweiten Argument als antilinear angesehen wird. Unter der Annahme der ersten Konvention die Beziehung, für die man erhalten möchte$\vec x=(x_1,x_2,x_3)$und ähnlich für$\vec y, \vec z$, das hat man noch

$$(\vec x \times \vec y)\cdot\vec z= \left|\begin{matrix}x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\\x_3&y_3&z_3\\\end{matrix} \right|.$$ Beachten Sie, dass die Determinante in allen ihren Spalten linear ist, also muss die linke Seite ein Ausdruck sein, der im Vektor linear ist, der direkt als Spalte erscheint, was erklärt, dass man ihn nicht verwenden kann $\vec x\cdot(\vec y\times\vec z)$stattdessen, was antilinear ist $\vec x$. Jetzt ist es leicht zu sehen, dass die Koordinaten von $\vec x \times \vec y$sollten zum Beispiel als komplexe Konjugierte der Ausdrücke in ihrer üblichen Definition angesehen werden $\overline{x_2y_3-x_3y_2}$für die erste Koordinate.

Tatsächlich kommt man für ein Skalarprodukt, das in seinem zweiten Argument als antilinear definiert ist, zu demselben Schluss. Die Identität, die zu dieser Definition führt, ist jedoch eine andere, nämlich diejenige, die gleich ist$\vec x\cdot(\vec y\times\vec z)$zu obiger Determinante.

Ja, das ist die richtige Definition. Wenn$v$,$w$sind senkrechte Vektoren in$\Bbb C^3$(nach dem hermiteschen Produkt) dann$v,w,v\times w$Matrix bilden in$SU_3$.

Wir können komplexe Kreuzprodukte definieren, indem wir die Oktonionenmultiplikation verwenden (und umgekehrt). Lassen Sie uns die Cayley-Dickson-Formel zweimal verwenden:

$$(a+b^\iota)(c+d^\iota)=ac-\bar db+(b\bar c+da)^\iota$$ für Quaternionen $a,b,c,d$. Nächster Satz $a=u\mathbf j, b=v+w\mathbf j, c=x\mathbf j, d=y+z\mathbf j$für komplexe Zahlen $u,v,w,x,y,z$. Dann erhalten wir aus obiger Formel $$-u\bar x-v\bar y-\bar w z+(\bar vz-w\bar y)\mathbf j+[w\bar x-\bar uz+(-vx+uy)\mathbf j]^\iota$$ Durch Anwenden der komplexen Konjugation auf die dritte komplexe Koordinate erhalten wir die Formel für das Kreuzprodukt. Der erste Term ist das hermitesche Produkt der Vektoren $(u,v,w)$, $(x,y,z)$. $$\begin {bmatrix}u\\ v \\ w \end{bmatrix}\times \begin {bmatrix}x\\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin {bmatrix}\overline {vz}-\overline{wy}\\ \overline{wx}-\overline{uz} \\ \overline{uy}-\overline{vx} \end{bmatrix}$$

$SU_3$ist eine Untergruppe der Octonion-Automorphismusgruppe$G_2$. Jeder Automorphismus von Oktonionen kann durch Festlegen des Einheitsvektors erhalten werden$\mathbf i$auf imaginärer Sphäre$S^6$. Es definiert eine komplexe Struktur im senkrechten Raum$R^6$über Multiplikation. Jetzt in dieser komplexen Struktur keine$SU_3$Element ist Octonion-Automorphismus. So$G_2$Faserbündel ist$S^6 \times \times SU_3$.

Jetzt geht es um "umgekehrt". Lassen Sie uns Oktonionen als Paare definieren$(a,\mathbf v)$Wo$a$ist eine komplexe Zahl und$\mathbf v$Vektor ein$\Bbb C^3$. Dann kann die Oktonionsmultiplikation definiert werden als

$$(a,\mathbf v)(b,\mathbf w)=(ab-\mathbf {v\cdot w},a\mathbf w+b \mathbf v + \mathbf {v \times w})$$ Ich hoffe, dass das obige Argument mit der doppelten Cayley-Dickson-Formel verwendet werden kann, um es zu beweisen, obwohl ich diese Berechnung nicht selbst gemacht habe. Der Leser wird aufgefordert, dies als Übung zu tun :)

Wir können die Definition des Kreuzprodukts auf die gleiche Weise auf Quaternionen erweitern. Wenn wir es auf Octonions ausdehnen, müssen wir vorsichtiger sein. Freudenthal hat dies mit 3x3-Matrizen über Oktonionen gemacht - der sogenannten Jordan-Algebra. In allen außergewöhnlichen Lie-Gruppen ist eine Art "Kreuzprodukt" vorhanden$F_4$,$E_6$,$E_7$,$E_8$wie diese Gruppen von Rosenfeld auch als Automorphismusgruppen von 2-dimensionalen Projektionsebenen bezeichnet werden$\Bbb {O,C\otimes O, H \otimes O, O \otimes O}$. Habe ich mich zu weit von der ursprünglichen Frage entfernt?

Physiker neigen dazu, die (nicht konjugierten) "reellen Formeln" sowohl für Punktprodukt als auch für Kreuzprodukte zu verwenden . Das Skalarprodukt der Physiker ist also gleich$\vec x\cdot \vec y = \vec x^T \vec y$, obwohl ihr inneres Produkt ist$\langle\vec x,\vec y\rangle=\vec x^H \vec y$(oder$\left\langle \vec x|\vec y \right\rangle$), Wo$\vec x^H = \mathrm{conj}(\vec x)^T$(die Transponierung mit komplex-konjugierten Elementen).

Normalerweise schreiben Physiker$\vec x^\dagger$anstatt$\vec x^H$, wohingegen Mathematiker schreiben können$\vec x^*$für$\vec x^H$(alternativ für das Konjugat von$\vec x$, weshalb ich hier die hermitische Schreibweise verwende$\vec x^H$, um Unklarheiten zu vermeiden).

Nicht konjugierte Punkt- und Kreuzprodukte sind die Standardpraxis in zB fast allen Büchern über Elektromagnetismus . Beachten Sie auch, dass Physiker, moderne Mathematiker und fast alle anderen dazu neigen, das erste Element in ihren inneren Produkten zu konjugieren , wie oben, außer dass Mathematiker der alten Schule häufiger das zweite Element verwenden , laut Wikipedia, Anmerkung 2: https://en. wikipedia.org/wiki/Inner_product_space#Notes

Die folgende Wikipedia-Seite behauptet jedoch, dass Linearität in der ersten Koordinate [noch] die vorherrschende Bedingung in der Mathematik (nicht nur der alten Schule) ist und verwendet$\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$dafür u$\left\langle \cdot |\cdot \right\rangle$für Linearität im zweiten Argument: https://en.wikipedia.org/wiki/Riesz_representation_theorem#Mathematics_vs._physics_notations_and_definitions_of_inner_product

In beiden Fällen erhalten Physiker die folgende Formel:

$$(\vec x \times \vec y)\cdot \vec z= \left|\begin{matrix}x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\\x_3&y_3&z_3\\\end{matrix} \right|.$$

Mathematiker neigen dazu, das Punktprodukt gleich dem inneren Produkt zu haben , dh$\vec x\cdot \vec y = \langle\vec x,\vec y\rangle=\vec x^H \vec y$für moderne Mathematiker und$=\vec y^H \vec x$für Mathematiker der alten Schule . (Beachten Sie die Sprungreihenfolge der alten Schule, die ihre Punktprodukte in Bezug auf ihre ersten Argumente linear und in Bezug auf die zweiten Argumente konjugiert-linear macht.)

Daher neigen Mathematiker dazu, Kreuz zu definieren$(x,y)=$konj(Physikkreuz$(x,y))$, dh,

$$\vec x \times \vec y = \left[\begin{matrix}\overline{x_2y_3-x_3y_2}\\ \overline{x_3y_1 - x_1y_3}\\ \overline{x_1y_2-x_2y_1}\\ \end{matrix} \right]$$ (Die überstrichenen Symbole bezeichnen komplexe Konjugation; entfernen Sie sie für das Kreuzprodukt der Physiker), um die Formel beizubehalten (wenn das 1. Argument von Skalarprodukten konjugiert wird). $$(\vec x \times \vec y)\cdot\vec z= \left|\begin{matrix}x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\\x_3&y_3&z_3\\\end{matrix} \right|.$$ Mathematiker der alten Schule haben stattdessen$\vec x \cdot (\vec y\times\vec z)=|\cdots|$, da ihr Punktprodukt (Konjugieren des 2. Arguments) das letztere Element konjugiert und somit die Konjugation im Kreuzprodukt auf diese Weise aufhebt.

Die (nicht konjugierten) Formeln der Physiker findet man zB hier (gated): https://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.1080/002073999287815

Matlab, Maple und Mathematica

Matlab verwendet die Formeln moderner Mathematiker für das Punktprodukt, dh es konjugiert das erste Element: Punkt$(x,y)=x^Hy$(Link https://se.mathworks.com/help/matlab/ref/dot.html ); aber es verwendet die (nicht konjugierten) Formeln der Physiker für das Kreuzprodukt: Kreuz$(x,y)$beinhaltet nicht die Konjugation der Ausgabe.

In Matlab ist also dot(i,1) = -i, cross([0,i,0],[0,0,1]) = (+i, 0, 0).
Deshalb,$(\vec x \times \vec y)\cdot\vec z \ne |\cdots|$im Matlab.

Mathematica konjugiert beides nicht. Maple konjugiert das Punktprodukt (obwohl Sie die Option haben, es nicht zu konjugieren), aber nicht das Kreuzprodukt. https://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=LinearAlgebra/DotProduct https://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=LinearAlgebra/CrossProduct

Ich vermute, dass Scilab nicht konjugiert. Jemand bestätigt/korrigiert hoffentlich diesen Absatz.

Diese Antwort baut auf der Antwort von Marc van Leeuwen auf derselben Seite auf.