Kreuzprodukt definiert in RnRn\mathbb R^n

Question

Kreuzprodukt definiert in RnRn\mathbb R^n

Tyler6

Ich bin in einem Einführungskurs in Lineare Algebra und wir haben kürzlich das Kreuzprodukt kennengelernt. Ich habe online gelesen und von anderen gehört, dass das Kreuzprodukt in definiert ist $\mathbb R^3$ nur. Als wir es jedoch lernten, sagte uns mein Lehrer, dass es für jeden Vektorraum definiert ist, und erwähnte nichts nur in 3 Dimensionen. Die Formel, die wir gelernt haben, lautet:

Wenn $x_1,x_2,...,x_{n-1}$ sind Vektoren in $\mathbb R^n$ , dann ihr Kreuzprodukt

w = * (X_{1}, X_{2}, . . ., X_{N - 1})

$w=\ast(x_1,x_2,...,x_{n-1})$ ist charakterisiert durch

w^{T} x = det (x_{1} x_{2} . . . x_{n - 1} x)

$w^Tx=\det(x_1x_2...x_{n-1}x)$ , und kann durch Einsetzen berechnet werden

x

$x$ als

e_{i}

$e_i$ für

1 \leq i \leq n - 1

$1\le i\le {n-1}$ .

Ich habe mich gefragt, ob das eigentliche Kreuzprodukt so definiert ist und die meisten Leute es nur für lernen $\mathbb R^3$ , oder erweitert mein Lehrer die Definition auf einen allgemeineren Fall? Ich habe versucht, es online herauszufinden, aber ich hatte kein Glück.

David

Eine Möglichkeit, das Kreuzprodukt einzuschreiben

R^{3}

$\Bbb R^3$ ist wie die folgende Determinante

w \times v = det [\begin{matrix} e_{1} & e_{2} & e_{3} \\ w_{1} & w_{2} & w_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{matrix}]

$w\times v=\det\begin{bmatrix}e_1&e_2&e_3\\w_1&w_2&w_3\\v_1&v_2&v_3\end{bmatrix}$ Wo

v = (v_{1}, v_{2}, v_{3})

$v=(v_1,v_2,v_3)$ Und

w = (w_{1}, w_{2}, w_{3})

$w=(w_1,w_2,w_3)$ , und natürlich

e_{1}, e_{2}, e_{3}

$e_1,e_2,e_3$ sind die Standardbasisvektoren. Ich nehme an, man könnte das verallgemeinern

R^{n}

$\Bbb R^n$ .

gt6989b

@Dave, wenn Sie dies als Antwort aufschreiben, sollte es zu Recht akzeptiert werden ...

Jack M

Michael Spivak sagt in seinem Physikbuch, warum das Kreuzprodukt nur Sinn macht

R^{3}

$\mathbb R^3$ Denn

n = 3

$n=3$ ist der einzige Fall, wo die orthogonale Gruppe auf

R^{n}

$\mathbb R^n$ ist von Dimension

n

$n$ .

anon

Es gibt auch unäre Kreuzprodukte (Multiplikation-mit-

i

$i$ auf einem komplexen inneren Produktraum, der als echter innerer Produktraum umgedeutet wird), ko-unäre Kreuzprodukte (an

(n - 1)

$(n-1)$ -ary Betrieb auf

R^{n}

$\Bbb R^n$ mit der gleichen Determinantenformel definiert, aber für an

n \times n

$n\times n$ Matrix), ein außergewöhnliches binäres Kreuzprodukt in sieben Dimensionen und ein außergewöhnliches ternäres Kreuzprodukt in acht Dimensionen im Zusammenhang mit der Existenz von Oktonionen.

Antworten (2)

Kreuzprodukt definiert in RnRn\mathbb R^n

Eine Möglichkeit, das Kreuzprodukt einzuschreiben $\Bbb R^3$ ist wie die folgende Determinante $w \times v = det [\begin{matrix} e_{1} & e_{2} & e_{3} \\ w_{1} & w_{2} & w_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{matrix}]$ $w\times v=\det\begin{bmatrix}e_1&e_2&e_3\\w_1&w_2&w_3\\v_1&v_2&v_3\end{bmatrix}$ Wo $v=(v_1,v_2,v_3)$ Und $w=(w_1,w_2,w_3)$ , und natürlich $e_1,e_2,e_3$ sind die Standardbasisvektoren. Ich nehme an, man könnte das verallgemeinern $\Bbb R^n$ .
@Dave, wenn Sie dies als Antwort aufschreiben, sollte es zu Recht akzeptiert werden ...
Michael Spivak sagt in seinem Physikbuch, warum das Kreuzprodukt nur Sinn macht $\mathbb R^3$ Denn $n=3$ ist der einzige Fall, wo die orthogonale Gruppe auf $\mathbb R^n$ ist von Dimension $n$ .
Es gibt auch unäre Kreuzprodukte (Multiplikation-mit- $i$ auf einem komplexen inneren Produktraum, der als echter innerer Produktraum umgedeutet wird), ko-unäre Kreuzprodukte (an $(n-1)$ -ary Betrieb auf $\Bbb R^n$ mit der gleichen Determinantenformel definiert, aber für an $n\times n$ Matrix), ein außergewöhnliches binäres Kreuzprodukt in sieben Dimensionen und ein außergewöhnliches ternäres Kreuzprodukt in acht Dimensionen im Zusammenhang mit der Existenz von Oktonionen.

Markieren · Answer 1

Im Folgenden wird das Kreuzprodukt in definiert $3$ nur Maße.

Das Problem bei der Definition des Kreuzprodukts ist, dass es nicht genau das ist, was Sie denken. Wenn Sie die "Rechte-Hand-Regel" gelernt haben, wissen Sie vielleicht, dass Sie zur Berechnung eines Kreuzprodukts:

Fegen Sie mit den Fingern ein Flugzeug aus (z $u\times v$ , das Flugzeug ist gerade $\text{Span}(u,v)$ ).
Nehmen Sie einen bestimmten senkrechten Vektor (in die Richtung, in die Ihr Daumen zeigt, nicht in die umgekehrte Richtung).

Dies bedeutet, dass wir die Funktion "Kreuzprodukt nehmen" in einige Unterfunktionen aufteilen können:

Gegeben zwei $u,v$ Finden Sie die (orientierte) Ebene $\text{Span}(u,v)$
Wandeln Sie diese orientierte Ebene eindeutig in einen Vektor um.

Schritt 2 ist das, was im Allgemeinen fehlschlägt. Insbesondere können wir bei zwei Vektoren immer einen sogenannten Bivektor bilden (nur die zuvor erwähnte orientierte Ebene). Dies geschieht über eine Operation namens äußeres Produkt , die dem Kreuzprodukt in sehr ähnlich ist $\mathbb{R}^3$ . Dann wollen wir diesen Bivektor so in einen Vektor umwandeln $f(x,y) = x\times y$ ist eine Funktion von Vektoren zu Vektoren (statt von Vektoren zu "Bivektoren").

Dies geschieht über den Hodge Dual --- gegeben a $k$ -Vektor ein $\mathbb{R}^n$ (also eine orientierte Spanne von $k$ Vektoren, nicht nur $2$ wie bei einem Bivektor), gibt dies einen natürlichen Weg, um a zu bekommen $n-k$ Vektor. Also für ein $2$ Vektor ein $\mathbb{R}^3$ , bekommen wir ein $3-2 =1$ -Vektor oder ein normaler Vektor. Der Hodge Dual ist genau der (verallgemeinerte) Prozess der Anwendung der Rechte-Hand-Regel, aber nur in $\mathbb{R}^3$ haben wir das $n - 2 = 1$ , was uns die Konvertierung zurückgibt, die wir wollen.

Wir haben also eine einfache Möglichkeit, das Kreuzprodukt auf höhere Dimensionen zu verallgemeinern, wenn wir mit "Bivektoren" und im Allgemeinen einverstanden sind $k$ -Vektoren. Wenn wir dazu nicht bereit sind, wird es viel schwieriger (Es gibt einige Kuriositäten wie das siebendimensionale Kreuzprodukt , aber im Allgemeinen nichts, was funktioniert und das Keilprodukt vermeidet).

Das Keilprodukt ist im Wesentlichen das, was Ihr Professor für Sie definiert hat, also ist es die richtige Verallgemeinerung (obwohl die Ausgabe kein "Vektor" ist, es sei denn, Sie betrachten das Keilprodukt von $k$ Vektoren wie das $n-k = 1$ , So $k = n-1$ Vektoren).

Das Gebiet, in dem dies untersucht wird, ist als Geometrische Algebra bekannt , falls Sie daran interessiert sind, mehr zu erfahren.

David Schied · Answer 2

Es gibt zwei Möglichkeiten, das Kreuzprodukt zu definieren (in $\mathbb{R^3})$ . Beide sind gleichwertig. Am einfachsten definiert man z $\mathbf a,\mathbf b \in \mathbb{R^3}$ :

A \times B := der einzigartige Vektor j Größe haben “ j “ = “ A “ “ B “ Sünde θ, Wo θ ist der Winkel dazwischen A Und B und Richtung durch die Rechte-Hand-Regel gegeben.

$\mathbf a \times \mathbf b := \text{ the unique vector } \mathbf y \text { having magnitude } \Vert \mathbf y \Vert = \Vert\mathbf a\Vert \Vert \mathbf b \Vert \sin \theta, \text{ where } \theta \text{ is the angle between } \mathbf a \text{ and } \mathbf b \text{ and direction given by the right-hand rule.}$

Diese Definition definiert effektiv das Kreuzprodukt zwischen zwei Vektoren als den Vektor, der eine Länge hat, die gleich der Fläche des von ihnen gebildeten Parallelogramms ist, und eine Richtung hat, die senkrecht zu beiden ist.

Das kann man dann in Komponentenform zeigen, wenn $\mathbf a = (a_1,a_2,a_3)$ Und $\mathbf b = (b_1,b_2,b_3)$ , Dann

A \times B = det ([\begin{matrix} ich & J & k \\ A_{1} & A_{2} & A_{3} \\ B_{1} & B_{2} & B_{3} \end{matrix}])

$\mathbf a \times \mathbf b = \det \left( \begin{bmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{bmatrix} \right)$

Wo $\mathbf i = \mathbf e_1$ , $\mathbf j = \mathbf e_2$ , Und $\mathbf k = \mathbf e_3$ .

In Theorem-beweisenden Klassen, insbesondere Analysis, wird es normalerweise nur über die Determinantenformel definiert. Dies liegt daran, dass allgemein anerkannt ist, dass man in auf Kalkül basierenden Beweisen kein geometrisches Denken verwenden sollte. Ihre Beweise und Definitionen können durch geometrisches Denken motiviert sein, aber Sie sollten in Ihren Beweisen keine geometrischen Argumente verwenden. Daher verwenden die meisten Sätze, die das Kreuzprodukt betreffen, nur diese Formel und ignorieren ihre geometrische Bedeutung. In der Physik überwiegen dagegen eher die geometrischen Definitionen. Beispiele für seine Verwendung sind die Definition von Drehmoment und magnetischem Fluss. Offensichtlich kann nur die zweite Definition verallgemeinert werden. Diese Situation ähnelt der Verallgemeinerung des Skalarprodukts. Geometrisch misst das Skalarprodukt, wie "nah" die Vektoren an einer Senkrechten sind. Offensichtlich können Sie die Dinge nicht im üblichen Sinne "senkrecht" haben, wenn Einstellungen mehr als 3 Dimensionen haben. In drei Dimensionen erweist sich jedoch das Skalarprodukt der oben erwähnten Vektoren als gleich

A \cdot B = A_{1} B_{1} + A_{2} B_{2} + A_{3} B_{3}

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$

Dieser letztere Begriff kann verallgemeinert werden, und das ist er auch. Die Vorstellung, dass Dinge in höheren (oder sogar unendlichen) Dimensionen "senkrecht" sind, erweist sich als äußerst wichtig, und Sie werden dies irgendwann in Ihrem Unterricht behandeln, wenn Sie orthogonale Vektoren studieren. Mir ist keine Verallgemeinerung der bekannt Kreuzprodukt. Dem am nächsten kommt etwas, das als Wedge-Produkt bezeichnet wird, das eher dem entspricht, was Ihr Professor Ihnen gegeben hat.

Ich weiß, dass Sie ein bestimmtes Textlayout bevorzugen, aber: 1) Ihre Antwort sieht auf einem mobilen Gerät seltsam aus, da jede geschriebene Zeile ungefähr 1,5 Bildschirmzeilen einnimmt. 2) es ist für Leute, die Screenreader oder Nicht-Standard-Browser verwenden, weniger zugänglich (jede Zeile ist ein separates Absatzobjekt), 3) es missbraucht mathematische Funktionen (Zeilenumbrüche im mathematischen Modus für zusätzlichen Abstand zwischen Textabsätzen), 4) es zwingt andere Leute dazu Verwenden Sie Ihr Layout, anstatt jemanden das Textlayout in seinem eigenen Browser anpassen zu lassen. Ihre Antworten werden besser geschätzt, wenn Sie den üblichen Schreibpraktiken folgen.
Ich helfe, wie die meisten von uns, gerne. Vielen Dank für Ihre Antwort. Ein paar nützliche Ressourcen: Die Symbolliste von AoPS und die Kurzanleitungen von ShareLatex .

Kreuzprodukt definiert in RnRn\mathbb R^n

Tyler6

David

gt6989b

Jack M

anon

Antworten (2)

Markieren

David Schied

mephistolotl

mephistolotl

mephistolotl

Lineare Operatoren, die die Norm des Kreuzprodukts beibehalten

Eindeutiges u∧vu∧vu\wedge v, so dass (u∧v)⋅w=∣∣∣∣∣u1v1w1u2v2w2u3v3w3∣∣∣∣∣(u∧v)⋅w=|u1u2u3v1v2v3w1w2w3|(u\wedge v)\cdot w = \small\begin{vmatrix} u_1&u_2&u_3 \\ v_1&v_2&v_3 \\ w_1&w_2&w_3 \end{vmatrix} für alle w∈R3w∈ℝ3w\inℝ^3

Wie ergibt die Berechnung der Determinante einer Matrix mit Einheitsvektoren das Kreuzprodukt?

Ist das Vektorkreuzprodukt nur für 3D definiert?

Kreuzprodukt in höheren Dimensionen

Beweis, dass die Determinante einer 3×33×33 \times 3 Matrix das Volumen des von den Säulen aufgespannten Parallelepipeds ist

Kreuzprodukt in komplexen Vektorräumen

Für orthonormale Vektoren a,b∈R3a,b∈R3a,b\in\mathbb{R}^3 beweise det[aba×b]=1det[aba×b]=1\det\begin{bmatrix} a & b & a \times b \end{bmatrix} = 1.

Fehlt etwas im Triple Cross-Produkt?

Skalares Tripelprodukt - warum äquivalent zur Determinante?