Inneres Produkt von Polynomen, definiert mit Determinante.

Question

Inneres Produkt von Polynomen, definiert mit Determinante.

bestimmend
Mathematik
innere Produkte
Lineare Algebra
orthogonale Polynome

1Lehrt2Lern

Die folgende Frage war auf meiner Eignungsprüfung. Ich würde diese Frage gerne verstehen, aber ich habe so etwas noch nie gesehen, daher weiß ich nicht einmal, nach welchen Schlüsselwörtern ich recherchieren oder wo ich nach weiteren Informationen suchen soll. Ich suche nicht unbedingt nach einer Antwort auf die folgende Frage. Vielmehr wurde in den vergangenen Jahren in Prüfungen routinemäßig eine Frage gestellt, die den Zusammenhang zwischen Determinanten und Polynomen untersucht, wie die folgende Frage. Daher wären Quellen mit weiteren Informationen zu diesem Thema oder Hinweise zu dem folgenden Problem sehr willkommen!

Frage. Betrachten Sie eine stetige Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow (0, \infty)$ so dass $\int_{-\infty}^\infty |x|^j f(x) \ dx < \infty$ für alle $j \geq 0$ . Bezeichne mit $\mathcal{P}_m$ der Vektorraum aller reellwertigen Polynome höchstens vom Grad $m$ , ausgestattet mit dem inneren Produkt

⟨ G, H ⟩ = \int_{- \infty}^{\infty} G (X) H (X) F (X) D X .

$\langle g, h \rangle = \int_{-\infty}^\infty g(x)h(x)f(x) \ dx.$ Lassen

m_{j} = \int_{- \infty}^{\infty} x^{j} f (x) d x (j = 0, 1, 2, \dots)

$m_j = \int_{-\infty}^\infty x^j f(x) \ dx \ (j = 0, 1, 2, \dots)$ und betrachte die Polynome

p_{0} (x) = m_{0}

$p_0(x) = m_0$ Und

\begin{aligned} P_{N} (X) = det (\begin{matrix} M_{0} & M_{1} & M_{2} & \dots & M_{N} \\ M_{1} & M_{2} & M_{3} & \dots & M_{N + 1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ M_{N - 1} & M_{N} & M_{N + 1} & \dots & M_{2 N - 1} \\ 1 & X & X^{2} & \dots & X^{N} \end{matrix}) N = 1, 2, \dots \end{aligned}

$\begin{align} p_n(x) = \det \left( \begin{matrix} m_0 & m_1 & m_2 & \dots & m_n \\ m_1 & m_2 & m_3 & \dots & m_{n+1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ m_{n-1} & m_n & m_{n+1} & \dots & m_{2n-1} \\ 1 & x & x^2 & \dots & x^n \end{matrix} \right) \ \ \ \ n = 1, 2, \dots \end{align}$

Beweise das $p_0, \dots, p_m$ sind orthogonal in $\mathcal{P}_m$ .

Beobachtungen. Ich konnte die folgende Intuition feststellen: Jedes (von Null verschiedene) Polynom kann nicht integriert werden $-\infty$ Zu $\infty$ , also für Polynome $g, h \in \mathcal{P}_m$ , wird ihr Produkt sicherlich kein Integral haben. Daher die Funktion $f$ ist vorgestellt. Die Funktion $f$ müssen Schwänze haben, die schnell genug auf Null gehen, damit das nicht nur geht $f$ können über alle integriert werden $\mathbb{R}$ , aber auch $f$ moduliert das Endverhalten des Begriffs $x^j$ damit es integriert werden kann. Dann ist das Produkt von $f$ Und $g$ ein Polynom sein wird, kann das Integral eines Polynoms auf die Terme aufgeteilt werden, die Koeffizienten aus den Integralen gezogen werden und das Ergebnis wird die Form haben $\sum_{j=1}^{2m} a_j \int_{-\infty}^\infty x^j f(x) \ dx = \sum_{j=1}^{2m} a_j m_j$ , Wo $a_j$ ist etwas konstantes und $m_j$ wird je nach Problem definiert.

Zuletzt habe ich ein paar Polynome niedrigerer Ordnung überprüft und bestätigt, dass ihr inneres Produkt null ist. Die Berechnungen haben sich ein wenig wie die Art von Index-Tracking-Übungen angefühlt, die ich während meiner begrenzten Beschäftigung mit multilinearer Algebra gemacht habe. Ich denke also, dass ich vielleicht mit leistungsfähigeren Tools zum Verfolgen von Indizes das gewünschte Ergebnis beweisen kann. Oder vielleicht ist es eine Induktion an $m$ . Oder vielleicht hat es etwas damit zu tun, dass eine Determinante irgendwie gezwungen wird, linear abhängige Zeilen zu haben. Wenn Sie bis hierher gelesen haben, segnen Sie Ihr Herz!

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Inneres Produkt von Polynomen, definiert mit Determinante.

Orangenhaut · Answer 1

Beachten Sie, dass jeder $p_n(x)$ ist eine Linearkombination von $1, x, \ldots,x^n$ (die Erweiterung der Determinante wr bis zur letzten Zeile). Also, um das zu zeigen $p_n(x)$ ist orthogonal zu allen $p_0,\ldots,p_{n-1}$ - alle Linearkombinationen von $1, \ldots, x^{n-1}$ , es reicht, das zu zeigen $p_n$ ist orthogonal zu allen $x^k$ , $k=0, 1, \ldots, n-1$ . Aber beachten Sie, dass das innere Produkt mit $x^k$ ist eine ähnliche Determinante wie die gegebene, außer dass die letzte Reihe die Skalarprodukte von sind $1, \ldots, x^n$ mit $x^k$ . Nun, wenn $0\le k\le n-1$ , dies ergibt eine Determinante mit $2$ gleiche Zeilen, und daher $0$ .

Dies ist ein Standardverfahren, um aus einem linear unabhängigen System ein orthogonales System zu erzeugen. Es verwendet Determinanten vom Typ Gram-Schmidt.

1Lehrt2Lern · Answer 2

OP hier. Diese Frage konnte ich (glaube ich) dank des hervorragenden Hinweises von orangeskid beantworten. Wenn Sie Fehler in dieser Antwort entdecken, lassen Sie es mich unbedingt wissen!

Lösung. Für alle $k$ , Polynom $p_k(x) = \sum_{j=0}^k a_j x^j$ wo jeweils $a_j$ ist etwas konstant, und so für alle $k < n \leq m$ , wir haben $\langle p_k(x), p_n(x) \rangle = \sum_{j=0}^k a_j \langle x^j, p_n(x) \rangle$ . Daher reicht es aus, dies zu zeigen $\langle x^j, p_n(x) \rangle = 0$ für $j < n$ .

Wir expandieren $p_n(x)$ entlang der unteren Reihe der Determinante, Erhalten $p_n(x) = C_0 + C_1x + \dots + C_n x^n$ wo jeweils $C_i$ ist der Cofaktor, der durch Entfernen der unteren Reihe und der erhalten wird $i$ -te Spalte der Determinantenmatrix von $p_n(x)$ . Nun beobachte das

\begin{aligned} ⟨ X^{J}, P_{N} (X) ⟩ & = \int_{- \infty}^{\infty} X^{J} P_{N} (X) F (X) D X \\ = \int_{- \infty}^{\infty} X^{J} (C_{0} + C_{1} X + \dots + C_{N} X^{N}) F (X) D X \\ = C_{0} \int_{- \infty}^{\infty} X^{J} F (X) D X + C_{1} \int_{- \infty}^{\infty} X^{J + 1} F (X) D X + \dots + C_{N} \int_{- \infty}^{\infty} X^{J + N} F (X) D X \\ = C_{0} M_{J} + C_{1} M_{J + 1} + \dots + C_{N} M_{J + N} \end{aligned}

$\begin{align} \langle x^j, p_n(x) \rangle &= \int_{-\infty}^{\infty} x^j p_n(x) f(x) \ dx \nonumber \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} x^j (C_0 + C_1x + \dots + C_n x^n) f(x) \ dx \nonumber \\ &= C_0 \int_{-\infty}^{\infty} x^j f(x) \ dx + C_1 \int_{-\infty}^{\infty} x^{j+1} f(x) \ dx + \dots + C_n \int_{-\infty}^{\infty} x^{j+n} f(x) \ dx \\ &= C_0 m_j + C_1 m_{j+1} + \dots + C_n m_{j+n} \end{align}$ bei dem die

C_{i}

$C_i$ kann aus den Integralen in der dritten Zeile herausgezogen werden, weil jede

C_{i}

$C_i$ ist nur eine Konstante. Beachten Sie nun, dass das Ergebnis in der vierten Zeile umgeschrieben werden kann als

\begin{aligned} C_{0} M_{J} + C_{1} M_{J + 1} + \dots + C_{N} M_{J + N} = det (\begin{matrix} M_{0} & M_{1} & M_{2} & \dots & M_{N} \\ M_{1} & M_{2} & M_{3} & \dots & M_{N + 1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ M_{N - 1} & M_{N} & M_{N + 1} & \dots & M_{2 N - 1} \\ M_{J} & M_{J + 1} & M_{J + 2} & \dots & M_{J + N} \end{matrix}) \end{aligned}

$\begin{align} C_0 m_j + C_1 m_{j+1} + \dots + C_n m_{j+n} = \det \left( \begin{matrix} m_0 & m_1 & m_2 & \dots & m_n \\ m_1 & m_2 & m_3 & \dots & m_{n+1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ m_{n-1} & m_n & m_{n+1} & \dots & m_{2n-1} \\ m_j & m_{j+1} & m_{j+2} & \dots & m_{j+n} \end{matrix} \right) \end{align}$ Wenn

j < n

$j < n$ dann ist die letzte Zeile der obigen Determinante gleich der

j + 1

$j+1$ Zeile, so dass die Determinante Null ist. Daher für alle

j < n

$j < n$ , wir haben

⟨ x^{j}, p_{n} (x) ⟩ = 0

$\langle x^j, p_n(x) \rangle = 0$ . Und schließlich für alle

k < n \leq m

$k < n \leq m$ , das Polynom

p_{k} (x)

$p_k(x)$ ist eine Linearkombination von solchen

x^{j}

$x^j$ , so dass

⟨ p_{k} (x), p_{n} (x) ⟩ = 0

$\langle p_k(x), p_n(x) \rangle = 0$ wie gewünscht.

Inneres Produkt von Polynomen, definiert mit Determinante.

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Orangenhaut

Orangenhaut

Benutzer26857

1Lehrt2Lern

Eindeutiges u∧vu∧vu\wedge v, so dass (u∧v)⋅w=∣∣∣∣∣u1v1w1u2v2w2u3v3w3∣∣∣∣∣(u∧v)⋅w=|u1u2u3v1v2v3w1w2w3|(u\wedge v)\cdot w = \small\begin{vmatrix} u_1&u_2&u_3 \\ v_1&v_2&v_3 \\ w_1&w_2&w_3 \end{vmatrix} für alle w∈R3w∈ℝ3w\inℝ^3

Wie löst man dieses lineare System aus drei Gleichungen mit der Cramerschen Regel?

Invertierbarkeit bezüglich innerer Produkträume

Eigenwert von selbstadjungiert

Finden Sie die Dreiecksmatrix und die Determinante.

Beweis über selbstadjungierte lineare Transformationen

Was ist mein Fehler in dieser Determinante der Ordnung nnn?

Determinante einer Dreiecksmatrix

Beweisen Sie den folgenden Matrixpendel mit jeder Matrix

Konjugieren Sie die Symmetrie, um das innere Produkt zu beweisen