Eigenwert von selbstadjungiert

Die vorgeschlagene Lösung ist nicht gut geschrieben, aber es scheint so$\lambda$ein beliebiger Eigenwert von ist$T^*T$Und$x$ist ein normalisierter Eigenvektor zugeordnet$\lambda$. In diesem Fall,

Ich würde jedoch einen direkteren Ansatz vorschlagen. Notiz$T^*T$ist selbstadjungiert und gegeben$x\in V$,$\langle T^*Tx,x\rangle = \langle Tx,Tx\rangle \ge 0$. Somit,$T^*T$ist positiv semidefinit. Mit einem ähnlichen Argument$TT^*$ist positiv semidefinit.

Wir können davon ausgehen, dass der Eigenvektor$x$ist normalisiert, dh$\langle x,x \rangle =1$. Wenn das am Anfang nicht der Fall ist, sagen Sie$\langle x,x \rangle = c>0$Dann$\langle \frac{1}{\sqrt c} x, \frac{1}{\sqrt c} x \rangle =1$und der Vektor$\frac{1}{\sqrt c}x$ist immer noch ein Eigenvektor. Deshalb$\langle T^*Tx,x \rangle = \langle \lambda x,x \rangle =\lambda \langle x,x \rangle = \lambda$.