Beweis über selbstadjungierte lineare Transformationen

Lassen v sei ein endlichdimensionaler komplexer innerer Produktraum. Beweisen Sie dies für eine gegebene selbstadjungierte lineare Transformation F : v → v es existiert eine selbstadjungierte lineare Transformation G : v → v so dass F = G 5 .

Ich bin mir nicht sicher, wie ich überhaupt anfangen soll, also würde ich mich über eine Anleitung freuen, wenn es nicht zu viel verlangt ist. Vielen Dank im Voraus!

Beginnen Sie mit der Diagonalisierung der linearen Transformation. Dann sollte klar sein wie G Sollte aussehen, wie. Das müssen Sie nur nachweisen G ist immer noch selbstadjungiert.
Tut mir leid, ich bin immer noch ein bisschen verloren :( Würde es Ihnen etwas ausmachen, ein wenig näher darauf einzugehen? Wie diagonalisiere ich die lineare Transformation?
Kennen Sie das „Spektraltheorem“?
Ich bin sicherlich damit konfrontiert worden, aber ich kann nicht sagen, dass ich weiß, wie man es nutzt

Antworten (1)

Hinweis: Wir müssen den Spektralsatz verwenden. Insbesondere wissen wir, dass es eine diagonale Transformation und einheitliche gibt u so dass D F : v → v so dass F = u D F u ∗ .

Beginnen Sie damit, eine Diagonale zu finden D G so dass D G 5 = D F . Dann genügt es, das zu bemerken

[ u D G u ∗ ] 5 = u D G 5 u ∗ = F

Finden D G 5 , würden wir einfach die fünfte Wurzel aus den Einträgen von ziehen D F ?
Finden D G , würden wir einfach die fünfte Wurzel ziehen. Es gibt keine Notwendigkeit zu "finden" D G 5 .
Beweis über selbstadjungierte lineare Transformationen
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