Transformationsmatrix für Drehung um beliebige Achse

Insbesondere weiß ich nicht, wie ich Griffiths Frage 1.9 in seiner Einführung in die Elektrodynamik beantworten soll:

Finden Sie die Transformationsmatrix R, die eine Drehung um 120 Grad um eine Achse vom Ursprung durch den Punkt beschreibt$(1,1,1)$. Die Drehung erfolgt im Uhrzeigersinn, wenn Sie die Achse nach unten zum Ursprung blicken.

Auf Glen Murrays Seite über Rotationen ist der angebliche Ansatz, den Raum sukzessive zu drehen, sodass die Rotationsachse entlang der z-Achse sitzt$T$, :

$$T = \begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0& \cos{\alpha} & -\sin{\alpha} \\ 0&\sin{\alpha} & \cos{\alpha} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \cos{\beta} & 0 & \sin{\beta} \\ 0 &1&0 \\ -\sin{\beta} &0 & \cos{\beta} \end{pmatrix}$$

die Drehung durchführen$\theta$,:

$$\begin{pmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} &0 \\ \sin{\theta} & \cos{\theta}&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}$$

und drehen Sie den Raum zurück in seine ursprüngliche Ausrichtung$T^{-1}$.

$T$dreht zunächst den Raum so, dass die Rotationsachse in der xz-Ebene liegt. Zweitens dreht es den Raum so, dass die Rotationsachse entlang der z-Achse liegt.

Dieser Ansatz erscheint zu langwierig, da es sich um eine einleitende Frage in einem einleitenden Kapitel handelt. Übersehe ich hier etwas?

Wo ich bei diesem Ansatz vorgehen soll, für die willkürliche Achse vom Ursprung durch den Punkt$(a,b,c)$, dann müsste ich die Winkel ableiten$\alpha$Und$\beta$folgendermaßen.

$\alpha = \arctan{\frac{b}{a}}$

$\beta = \arctan{\frac{a\cos{\alpha} +b\sin{\alpha}}{c}}$