Bleiben komplexe Vektoren beim Drehen in einer Ebene?

Danke fürs Lesen.

Ich versuche besser zu verstehen, wie Rotationsmatrizen bei komplexwertigen Vektoren funktionieren.

Angenommen, wir haben die Rotationsmatrix:

$R_\theta =\begin{bmatrix} \cos(\theta) & \ -sin(\theta) \\ \sin(\theta)& \cos(\theta) \end{bmatrix}$

Dieser dreht einen reellwertigen Vektor auf der kartesischen Ebene um$\theta$Grad.

Also, wenn wir einen Vektor haben$\vec{v}$, und wir berechnen$R_\theta \vec{v}$, die Ausgabe ist$\vec{v}$aber gedreht um$\theta$Grad gegen den Uhrzeigersinn.

Aber jetzt sagen$\vec{v}$darf komplexe Komponenten haben.

Wenn$\vec{v}$ist in$\mathbb{C}^2$, dann können wir uns vorstellen, dass es wirklich existiert in$4D$Raum, wo es eine echte gibt$X$Richtung, eine echte$Y$Richtung, eine imaginäre$X$Richtung und eine imaginäre$Y$Richtung.

Sagen wir$\vec{v}=\begin{bmatrix} 2\\ 3 \end{bmatrix}$, oder etwas ähnliches. Der Punkt ist, dass seine Bestandteile nur real sind – es existiert vollständig auf der Realität$(X,Y)$Ebene.

Wenn wir rotieren$\vec{v}$Wie auch immer, es wird auf dem Realen bleiben$(X,Y)$Ebene. Es wird sich niemals in irgendeine der imaginären Dimensionen drehen.

Sagen wir ähnlich$\vec{v}=\begin{bmatrix} 2i\\ 3i \end{bmatrix}$.

Jetzt noch einmal, wenn wir rotieren$\vec{v}$um einen beliebigen Betrag durch Multiplikation mit$R_\theta$auf der linken Seite bleibt es im Imaginären $(X,Y)$Ebene. Es wird sich niemals in eine der realen Dimensionen drehen.

Aber jetzt sagen Sie$\vec{v}=\begin{bmatrix} (1+i)\\ (3) \end{bmatrix}$.

...oder etwas ähnliches. Der Punkt ist, dass es ist$x$Und$y$Komponenten haben selbst sowohl reale als auch imaginäre Komponenten.

Würde eine Drehung (Multiplikation mit$R_\theta$links) noch behalten$\vec{v}$auf einer Ebene, wobei die Achsen dieser Ebene in eine Kombination aus imaginärer und realer Richtung zeigen?

Wenn das der Fall ist, wie könnten wir dann herausfinden, was dieses Flugzeug ist?

Was ich bisher gemacht habe:

Ich bin versucht, meine Frage mit Ja zu beantworten, und hier ist der Grund.

Wenn wir einen Vektor haben

$\vec{v}=\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}$

und wir drehen es um$90^0$, landen wir bei$\vec{v}=\begin{bmatrix} -b\\ a \end{bmatrix}$

$\vec{v}=\begin{bmatrix} -b\\ a \end{bmatrix}$Und$\vec{v}=\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}$

sind orthogonale Richtungen, die sehr deutlich gemacht werden könnten, um die Achsen einer Ebene zu definieren.

Wenn$a$Und$b$beide real waren, dann war dies ganz offensichtlich das reale$(X,Y)$Ebene, und eine Drehung um einen beliebigen Winkel hätte den Vektor auf dieser Ebene gehalten.

Nun, sagen wir, wir haben...$\vec{v}=\begin{bmatrix} (2+3i)\\ (1+4i) \end{bmatrix}$.

...oder etwas ähnliches, wo seine Komponenten sowohl Imaginär- als auch Realteile haben und wir multiplizieren$\vec{v}$durch die Rotationsmatrix, die dem Rotieren um entspricht$90^0$:

$\begin{bmatrix} \cos(90) & \ -sin(90) \\ \sin(90)& \cos(90) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} (2+3i)\\ (1+4i) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -(1+4i)\\ (2+3i) \end{bmatrix}$

Diese orthogonalen Richtungen,$\begin{bmatrix} -(1+4i)\\ (2+3i) \end{bmatrix}$Und$\begin{bmatrix} (2+3i)\\ (1+4i) \end{bmatrix}$könnte auch eine Ebene definieren.

Allerdings ist mir nicht klar, dass die Drehung um einen Winkel kleiner ist als$90^0$hätte gehalten$\vec{v}$im selben Flugzeug...

Hätte es?

Danke!

(Wenn meine Frage unklar ist, hinterlassen Sie bitte einen Kommentar!)